Мы оглядываемся назад

С чего мне начать? С решения, полного и правиль­ного в каждой своей детали.

Что я могу сделать? Рассмотрите решение с различ­ных сторон и найдите точки соприкосновения с вашими ранее приобретенными знаниями.

Рассмотрите детали решения, стараясь максималь­но упростить их; обратите внимание на громоздкие части решения и попытайтесь сделать их короче; поста­райтесь охватить все решение одним взглядом.

Постарайтесь улучшить малые или большие части решения и усовершенствовать все решение в целом, сделать его интуитивно ясным. Найти для него естест­венное место в системе ваших ранее приобретенных знаний.

Вглядитесь в метод, приведший вас к решению; постарайтесь выяснить, что в нем является главным, и применить его к другим задачам.

Всмотритесь в результат и попытайтесь использо­вать его, чтобы решить другие задачи.

Чего я смогу этим добиться? Вы можете найти новое, лучшее решение, можете обнаружить новые ин­тересные факты. Во всяком случае, если вы приобрете­те привычку рассматривать и оценивать полученные решения указанным образом, вы сможете пополнить свои знания новыми, приведенными в стройную систему и готовыми к применению, и развить свои способности к решению задач.

Продвижение и достижение. Вы продвинулись в решении задачи? В чем суть вашего достижения? Воп­росы такого рода мы можем задавать как себе, когда мы сами решаем задачу, так и учащемуся, решающему ее под нашим руководством. Мы привыкли более или менее уверенно судить о продвижении и о достижениях в конкретных случаях. Но перейти от таких конкретных случаев к обобщенному изложению вопроса очень не­легко. Однако, если мы желаем изложить учение об эвристике более или менее полно, мы должны попы­таться уяснить себе, из чего состоит в общих чертах продвижение и достижение при решении задач.

Чтобы решить какую-нибудь задачу, мы должны иметь определенный запас знаний в той области, к которой наша задача относится, и нам приходится собирать и отбирать все имеющиеся у нас сведения, связанные с нашей задачей. Эти сведения до начала решения были лишь потенциальными. Наше понимание задачи значительно полнее в конце, чем оно было, когда мы только приступали к ней; что добавилось? То, что нам удалось вспомнить. Для того чтобы решить задачу, нам приходится припоминать различные су­щественные факты. Если наша задача математическая, приходится вспомнить ранее решенные задачи, знако­мые теоремы, определения. Восстановление в памяти сведений, относящихся к задаче, можно назвать мо­билизацией.

Однако, чтобы решить какую-нибудь задачу, не­достаточно вспомнить изолированные сведения, мы должны комбинировать эти факты, и их комбинация должна быть хорошо приспособлена к решению имею­щейся у нас задачи. Таким образом, при решении математической задачи мы должны объединить все, что мы вспомнили, и на этом основании выдвинуть такой отдельный довод доказательства, который был бы хо­рошо приспособлен к целому. Эту работу по приспособ­лению и комбинированию фактов можно назвать ор­ганизацией.

По существу, отделить мобилизацию от органи­зации невозможно. Сосредоточивая все свое внимание на задаче, мы припоминаем лишь те факты, которые более или менее связаны с нашей задачей, и соединяем и организуем лишь то, что вспомнили и мобилизовали.

Мобилизация и организация лишь два аспекта од­ного и того же сложного процесса, имеющего еще много других аспектов.

Другой аспект продвижения в работе заключает­ся в том, что характер нашего понимания задачи меняется. Понимание задачи у нас значительно полнее в конце, чем оно было вначале, когда мы только приступали к решению, ибо добавилось все, что мы вспомнили, обработали и приспособили к решению. Желая перейти от первоначального понимания данной задачи к более точному, более полному ее пониманию, мы подходим к ней с разных точек зрения, рассматри­ваем ее с разных сторон. Едва ли мы могли бы продви­нуться в решении без такого видоизменения задачи.

Цель вырисовывается все более и более отчетли­во по мере приближения к ней. А когда мы видим цель яснее, мы считаем, что мы к ней ближе. По мере того как изучение задачи продвигается, мы все яснее и яснее можем предвидеть, что следует предпринять для решения задачи и каким образом надо действовать.

Если удача нам сопутствует, то при решении математи­ческой задачи мы сможем предусмотреть возможность использования известной нам теоремы, полезность рас­смотрения ранее решенной задачи, необходимость до­полнительного уточнения значения того или иного ма­тематического термина. Такие предвидения не являют­ся безошибочными, они лишь до известной степени правдоподобны. Полное подтверждение правильности своего предвидения мы получаем с окончательным ре­шением, а до этого мы часто вынуждены довольство­ваться более или менее правдоподобной догадкой. Нам никогда не удалось бы прийти к точному и окончатель­ному решению, не прибегнув к соображениям лишь правдоподобного и предварительного характера. Нам необходимо эвристическое рассуждение.

В чем заключается продвижение к решению? В мобилизации и организации знаний, ведущих нас к решению, в эволюции нашего понимания задачи, во все возрастающем предвидении тех шагов, которые приведут к окончательному обоснованию решения. Мы можем продвигаться вперед постоянно, но незаметно, потом вдруг продвинуться резко семимильными шага­ми. Стремительное продвижение в решении называется счастливой идеей (bright idea), хорошей, удачной, внезапно осенившей вас мыслью (в немецком языке есть более специальный термин Einfall). Что такое счастливая идея? Резкое и очень существенное изменение в нашей точке зрения на задачу, стремитель­ная перестройка характера нашего понимания задачи, только что возникшее уверенное предвидение шагов, необходимых для решения задачи.

Вышеизложенные соображения служат хорошим фоном для вопросов и советов нашей таблицы.

Многие из этих вопросов и советов направлены непосредственно на мобилизацию наших, ранее приоб­ретенных знаний: Не встречалась ли вам эта задача ранее? Или подобная задача, но в несколько другой форме? Не знаете ли вы какой-нибудь похожей задачи? Не знаете ли вы теоремы, которая могла бы оказаться полезной? Рассмотрите неизвестное! И постарайтесь припомнить знакомую задачу с тем же или сходным неизвестным.

Бывает такое характерное состояние, при котором нам кажется, что нами собраны нужные сведения и что усилия направлены на лучшую организацию того, что мы мобилизовали: вот задача, которая похожа на вашу и уже решена. Сумеете ли вы воспользоваться ею? Сумеете ли вы применить ее результат? Сумеете ли использовать ее метод? Сумеете ли ввести какой-ни­будь вспомогательный элемент, чтобы молено было воспользоваться этой задачей?'

Есть другие типические ситуации, при которых мы думаем, что собранные нами сведения недостаточны. Мы задумываемся — чего же не хватает? Все ли дан­ные мы использовали? Все ли условия? Приняли ли мы во внимание все существенные понятия, содержащиеся в задаче?

Некоторые вопросы непосредственно направлены на видоизменение задачи: сможете ли вы изложить задачу иначе? А еще иначе? Многие вопросы имеют своей целью варьировать задачу специальными приемами, например возвращением к определениям или пользуясь аналогией, обобщением, спе­циализацией, разложением и обобще­нием.

Иные же вопросы предлагают проверку, чтобы предвидеть характер решения, которое мы хотим полу­чить: возможно ли удовлетворить условию? Достаточ­но ли условие для определения неизвестного? Или недостаточно? Или чрезмерно? Или противоречиво?

В вопросах и советах нашей таблицы нет непосред­ственных упоминаний о счастливой идее, но по сущест­ву они все связаны с ней.

Вникая в суть задачи, мы создаем благоприятные условия для возникновения счастливой идеи, составляя план, мы стараемся вызвать ее. Вызвав счастливую идею, осуществляем ее в решении, а потом при изуче­нии хода и результата решения мы стараемся макси­мально использовать ее.

Противоречивость (см. «У с л о в и е») Работать от конца к началу. Если мы хотим понять поведение человека, нужно сравнить его с поведением животного. Животные тоже «имеют проблемы» и «ре­шают задачи». За последние десятилетия эксперимен­тальная психология существенно продвинулась в об­ласти исследования деятельности различных животных при «решении задач». У нас нет возможности рассмат­ривать эти исследования, но мы опишем один простой и поучительный опыт, и наше описание послужит свое­го рода пояснением к методу анализа или, как мы его называем, методу «работать от конца к началу».