Пример 3. Построение эллипса. Применение эллипса в технике

Рассмотрим некоторые, наиболее простые способы построения эллипса.

I. Способ садовников. Закрепим в точках F и F две булавки и набро­сим на них петлю из нерастяжимой нити (рис. 41). Если теперь, натягивая нить при помощи карандаша, перемещать его, то нить принудит карандаш пройти только через те точки плоскости, сумма расстояний которых от двух задан­ных точек F и F постоянна (суммарная длина нити 2с постоянна, но расстояние 2с не изменяется, так что г + г = const).

Следовательно, карандаш, замкнув свой путь, вычертит на бумаге эллипс. Этим способом обычно пользуются садовники при вычерчивании эллипсовидных клумб, откуда и произошло его название.

Два эллипса с равными полуосями (а' = а"; b' = b") посажены на оси, прохо­дящие соответственно через фокусы F' и F " первого и второго эллипсов. Совме­стное вращение двух тел возможно лишь в том случае, если сумма расстояний от осей вращения точек, которым надлежит войти в соприкосновение, постоянна и равна расстоянию между осями F' F " Если эта сумма больше F' F ", произойдет заклинение, если же она меньше F' F ", не насту­пит сцепление.

Это условие выполняется для двух кругов любых радиусов и, как легко убедиться, для двух одинаковых эллиптических колес а' = а"; b' = b", для которых в любой мо­мент вращения

r' + r" = 2а' = 2а" = const. Но при вращении эллиптических колес, если увеличивается r' , то r" уменьшается, и наоборот. Так что, приведя в равномер­ное вращение колесо I, получим периодически ускоряющееся и замедляющееся вра­щение колеса II. Этим свойством эллиптических колес пользуются в станках (или других устройствах), где необходим медленный, но мощный рабочий ход и ус­коренный холостой ход, как, например, в строгальных и долбежных станках, в прессах и т. д.

Пример 4. В курсе «Сельхозмашин» важными эксплуатационными характеристиками работающего на склоне трактора, показывающими его устойчивость, являются угол продольного наклона и угол поперечного крена.

Будем рассматривать для простоты колесный трактор. Поверхность, на которой работает трактор (по крайней мере, ее достаточно малую часть), можно считать плоскостью (плоскость движения). Продольной осью трактора называется проекция прямой, соединяющей середины передней и задней оси, на плоскость движения. Углом поперечного крена называется угол, образованный с горизонтальной плоскостью прямой, перпендикулярной продольной оси и лежащей в плоскости движения.

При изучении в курсе математики темы «Прямые и плоскости в пространстве» можно рассмотреть задачи:

а) Найти угол продольного наклона трактора, движущегося по склону, если известен угол подъема склона и угол отклонения траектории трактора от продольного направления.

б) Предельным углом поперечного крена трактора называется наибольший допустимый угол наклона склона, поперек которого может стоять трактор, не опрокидываясь. Какие параметры трактора достаточно знать для определения предельного угла поперечного крена; как найти этот угол?