Некоторые задачи, решаемые при помощи уравнения прямой линии

Многие практические задачи, в которых исследуемые функции на заданном интервале с достаточной для практики точностью представимы линейными функци­ями, можно решать при помощи уравнения прямой. При этом, в отличие от пре­дыдущих параграфов, рассмотрим также более общий случай, когда искомую функ­цию можно представить ломаной линией, состоя­щей из нескольких отрезков прямых. Не входя в подробности, ограничимся только двумя харак­терными задачами, предоставив остальное само­стоятельной работе читателя.

Задача 1. Вода вливается в бассейн через трубу I со скоростью 3 единицы в час. По тру­бе II вода вытекает со скоростью 2,4 единицы в час. На высоте h от дна бассейна помещена труба III с пропускной способностью 1,6 едини­цы в час, перекрываемая краном К и работаю­щая только 8 часов в сутки (рис. 27). Глубина бассейна 3h. Требуется исследовать режим уров­ня воды х в бассейне, т. е. выразить х как функцию времени t.

Решение.

Допустим, что кран К открывают в момент, когда бассейн полон (х = 3h; t = 0) Тогда в первый период

x = 3h + 3t - 2,4t – 1,6t = -t + 3h

до х = h, т. е. до тех пор, пока х не достигнет уровня h. Начиная с этого мо­мента, для всего остального времени первого периода установится так называемое динамическое равновесие, так как при x < h действуют только трубы I и II и при­ток больше расхода, а при x > h действуют все три трубы и приток меньше рас­хода.

По прошествии восьми часов выключаем трубу III. Начинается второй период: х = h + 3 (t - 8) - 2,4 (t - 8) = 0,6 (t - 8) + h,

до х = 3h.

Выше 3h уровень подняться не может, так как вода польется через край. Представим все это графически (рис. 28). По этому графику мы можем в любой момент времени t определить, каков уровень воды х в бассейне.

С аналогичной задачей столкнулись проектировщики Ново- Краматорского маши­ностроительного завода имени В. И. Ленина.

Завод, потреблявший огромное количество воды, надо было снабжать от не­большой реки, притока Донца. Для того чтобы «утолить жажду» этого гиганта первой пятилетки в часы его полной нагрузки, на реке надо было установить пло­тину для круглосуточного сбора воды, т. е. соорудить «бассейн» (рис. 29), в ко­тором: труба I — количество воды, приносимое течением реки, труба II — потери воды на просачивание (фильтрацию) в грунте под плотиною и круглосуточное об­служивание основных цехов завода, труба III — увеличение расхода воды заводом при работе на полную мощность в первую смену. (Высота А необходима для того, чтобы водоотсосные трубы не засасывали ил.)

Из графика режима реки (рис. 28) замечаем два возможных неприятных мо­мента. В первом периоде, начиная с момента, отвечающего точке В, начинает не хватать воды, а во втором периоде от точки D происходит бесполезный сброс воды через плотину.

Верхний бьеф реки Водоотсосные трубы

Рис. 29.

Найдем, насколько надо увеличить высоту плотины, чтобы обеспечить восьмича­совую работу по первому периоду, т. е. чтобы устранить горизонтальную ступеньку графика ВС.

Для этого надо через точку С провести прямую, параллельную отрезку АВ, и определить начальную ординату b этой прямой.

Уравнение любой прямой, параллельной прямой х= — t + 3h, будет иметь тот же угловой коэффициент k= —1, т. е. его вид будет

х = — t + b.

Но по условию эта прямая должна пройти через точку С (8; h) и, следовательно, 8 = —h + 6; отсюда b = 8 + h. На рис. 28 принят масштаб 3h = 8 единицам по оси t, так что b = 8 + h = 3h + h = 4h. Следует отметить, что при некотором со­отношении между притоком воды и ее расходом для каждого данного отношения продолжительности первого и второго периодов задача не имеет решения. (Найдите это соотношение для данной задачи.)

Если природные условия в этом смысле неблагоприятны, решение ищут путем искусственного увеличения стока реки, как это имело место, например, для Москвы-реки (сооружение канала им. Москвы). Вторым аналогичным примером является проблема обмеления Каспийского моря, для решения которой в качестве одного из вариантов рассматривают переброс части стока северных рек — Вычегды и Печоры — в бассейн реки Волги.