Функция и предел

Задача 1. Разложение некоторого химического вещества протекает в со­ответствии с уравнением: m(t) = m е , где m — начальное количество ве­щества, m(t) — количество вещества в момент времени t, к > 0 — некоторая постоянная. Построить график зависимости и проанализировать ее.

Задача 2. С момента начала лечения (вливания глюкозы в кровеносную систему) количество глюкозы в крови m(t) (в мг) изменяется по закону: m(t) = 100 + 50е , где t — время (в ч). Построить график зависимости и проанализировать ее.

Задача 3. Размер популяции m(t) животных, начиная с момента времени m = 0 (время t выражено в годах), изменяется по закону: m(t) = 1500 - . Что ожидает эту популяцию в будущем?

Задача 4. В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность популяции меняется по закону: Q(t) = 1000 + где выражается в часах. Описать, что произойдет с популяцией с течением времени.

Задача 5. Кривая роста преступности по группе особо опасных пре­ступлений в условных единицах соответствует зависимости по времени у = (140 + a)t - t , где 3 t 6, t = 3 соответствует первому году резкого роста, a t = 6 - текущему, и в ближайшие два года прогнозируется та же зависимость по времени. Построить график данной зависимости и ответить на вопрос: когда произойдет перелом в тенденции роста?

Задача 6. Реакция организма на два лекарства как функции времени (в часах) выражается в виде: r (t) = te и г (t) = t e . Сравните действие этих лекарств на организм.

Задача 7. Имеются данные об изменении во времени коэффициентов ро­ждаемости и смертности (иммиграции и эмиграции). Построить график из­менения во времени коэффициента естественного прироста (искусственного прироста, общего прироста).

Время (t) Доза (мг)

Рис. 1. Рис. 2.

Задача 8. На графике изображено положительное и отрицательное воз­действие на организм некоторого лекарственного препарата в зависимости от дозы (в млг). Изобразить зависимость общего воздействия на организм данного препарата.

Задача 9. Как, имея графики динамики численности населения региона и доли постоянно проживающего в нем населения, изобразить график динамики численности постоянного населения региона?

Предел

Задача. Численность некоторой популяция х изменяется со временем t, причем эта зависимость задана аналитически. Как спрогнозировать числен­ность популяции в достаточно отдаленном будущем?

Задача 1. Размер популяции m(t) животных, начиная с момента времени t = 0 (время t выражено в годах), изменяется по закону: m(t) = 1500— . Что ожидает эту популяцию в будущем?

Задача 2. В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность популяции меняется по закону: Q(t) = 1000 + , где t выражается в часах. Описать, что произойдет с популяцией с течением времени.

Задача 3. Размер популяции животных m(t), начиная с момента времени t = 0 (в годах), изменяется по закону: m(t) = 1500 - . Исследовать функцию m(t), построить ее график и описать, что будет происходить с численностью популяции в дальнейшем.

Задача 4. Численность популяций х(t) (функция х(t) соответствует непрерывному росту популяции бактерий от начального размера x(0) до предельного размера) выражается функциями от t:

а) х(t) =100 + ; б) х(t)=90+10t ; в) х(t) = 10 + 100е ;

г) х(t) = 10е ; д(t) = 10е .

В каждом случае найти предельные размеры популяций и начальную популяцию x(0).

Задача 5. Популяция бактерий увеличивается от начального размера
до размера p(t) в момент t (дни) согласно уравнению p(t) = .

Найдите p(t) — равновесную популяцию.

Задача 6. При вливании глюкозы ее содержание в крови больного
спустя t составляет c(t)= 10 — 8е . Найдите с(t) = 0 - равновесное состояние содержания глюкозы в крови.

Задача 7. С момента начала лечения (вливания глюкозы в кровеносную систему) количество глюкозы в крови m(t) (в мг) изменяется по закону: m(t) = 100 + 50е , где t — время (в ч). Построить график зависимости и проанализировать ее.

Задача 8. Пусть функция у = f(t) отражает зависимость числа жителей поселка у от временного показателя t. Объясните смысл записи f(t) = 0.

Задача 9. Ток в электрической цепи изменяется в зависимости от времени по закону I(t) = .

Найти величину тока в переходном процессе (в момент включения / вы­ключения), то есть при t 0.

Задача 10. Падение напряжения на концах некоторого внешнего сопротивления R, подключенного к источнику Э.Д.С., согласно закону Ома, равно

U = ,

где r – внутреннее сопротивление источника Э.Д.С.; Е – величина Э.Д.С. источника тока.

Рассмотреть выражение закона Ома как функцию f (R), найти её предел при R и сделать вывод.

Задача 11.Катет а прямоугольного треугольника разделен на n равных частей, и на получив­шихся отрезках построены вписанные прямо­угольники (рис. 1). Определить предел площади образовавшейся ступенчатой фигуры, если n .

Задача 12. Некоторый химический процесс протекает так, что прирост количества вещества за каждый промежуток времени из беско­нечной последовательности промежутков (i , (i+1) ) (i = 0, 1,2, ...) пропорционален наличному количеству вещества, имеющемуся в начале этого промежутка, и величине промежутка. Предполагая, что в начальный момент времени количество вещества составляло Q , определить количество вещества Q через промежуток вре­мени t, если прирост количества вещества происходит каждую n-ю часть промежутка времени = t/n.

Найти Q = .

Задача 13. Круглая пластина радиусом а с закрепленными краями находится под действием силы Р, приложенной к ее центру. Прогиб на расстоянии х от центра пластины выражается следующей формулой:

y = Pkx + P (a - x )

где k — коэффициент, связанный с прочностными ха­рактеристиками материала и формой пластины. Найти прогиб в центре пластины.

Задача 14. Шарнирно-опорная балка под действием равномерно распределенной нагрузки q и сжимающей силы N прогибается. Прогиб в середине балки вычисляется по формуле

f =

где u = ; EI — жесткость балки; — длина балки.

Показать, что: а) при u 0 (El ) балка не должна прогибаться, т. е. f 0; б) при u (N ЕI / ) f , т. е. существует критическая сила, при которой балка «разрушается», что математически соответствует ее беско­нечному прогибу.

Задача 15. Динамическая самоиндукция антенны при удлинении волны выражается формулой L = L ,

где L — динамическая самоиндукция; L — статическая самоиндукция; — действующая длина антенны; — длина волны антенны. Найти .

Задача 16. В теории ламповых генераторов доказывается, что коэффициент полезного действия генератора выражается через угол отсечки тока формулой = , где — коэффициент использования напряжений. Найти .

Задача 17. Расчет рабочих колес турбины приводит к уравнению

n у = —k x + n уа,

где у — толщина колеса на расстоянии х от оси вращения; у = у при х = 0.

Найти .

Задача 18. В атомной физике изучается формула Релея —Джинса, дающая зависимость распределения энергии излучения от частоты: u = А — . Считая малой величиной, упростить формулу способом линеаризации, считая d постоянной величиной.

Решение. Если v мало, то = 1, т.е. ~ или 1 + , тогда u A .

Задача 19. Имеется с грамм-молекул активного вещества. Предполагая, что в единицу времени вступает в реакцию р% этого вещества, узнать, какое количество грамм-молекул не вступит в реакцию по истечении времени t.

Решение. Через единицу времени вступают в реакцию 0,01рс грамм-молекул; остаются с (1 — ). Через 2 единицы времени не вступило в реакцию с (1 — ) . Через t единиц времени количество грамм-молекул с (1 — ) . Для лучшего приближения к действительности единицу времени разобьем на n более мелких частей. Тогда вещества, не вступившего в реакцию, будет с (1 — ) , или, полагая = k, получим (1 – k) 1 - kt = 1 – kt/n, тогда вещества, не вступившего в реакцию, будет

с (1 — kt/n) .

Истинное количество остающегося вещества

с = = c e .

Задача 20. Упростить барометрическую формулу

h = 800 (1 + 0,004t) n , принимая = ,

где 0 x 1.

Ответ. h = .

Задача 21. В топографии возникает необходимость найти отношение стрелы f = DB (высоты сегмента) дуги ABC окружности радиуса r к стреле f = D B половины АВ В этой дуги, если центральный угол АОВ мал. Найти это отношение.

Указание. Построить центральные углы дуг и использовать принцип эквивалентности бесконечно малых.

Ответ. 4.

Задача 22. «В педагогическом эксперименте сравниваются результаты по двум различным методикам обуче­ния. Материал темы излагается в двух группах, где применялись единые тестовые задания. В каче­стве переменной выступает безразмерная величина х = t/Т (0 <t < Т), где T - общее количество часов для изучения темы.

Средние коэффициенты усвоения темы, в зави­симости от степени «погружения» в теоретичес­кий материал, для каждой группы выражаются функциями .

Как выяснить эффективность предложенных методик?»

Этап анализа позволяет сделать вывод о том, что для данных зависимостей требуется срав­нить значения Р (1) и Р (1), которые непосред­ственно из формул определить нельзя.

На этапе классификации выясняется, что каж­дая функция является комбинацией конечного числа элементарных, поэтому для 0 < х < 1 функ­ции непрерывные.

Этап расчленения целого на части дает возмож­ность выявить, что для установления результата к концу обучения следует найти пределы указан­ных функций при х 1, сравнив значения между собой. Надо сказать, что понятие предела, слож­ное по своей природе, приобретает здесь вполне конкретные очертания.

На этапе установления и определения последо­вательностей возникает проблема вычисления предела сложной функции. В первом случае аргумент является бесконечно большой величи­ной, а во втором — представляет собой «неопре­деленность вида 0/0 «.

Использование теоремы о предельном пере­ходе под знаком непрерывной функции завер­шается на этапе определения взаимосвязей.

На этапе синтеза сравниваются два предель­ных значения Р (1) = 1/2, Р (1) = Ln 2 и делаются выводы.

Задача 23. Задача предложена в учебнике Б.В.Гнеденко и отме­чено, что ее сюжет заимствован из звездной астрономии. "В сфере радиу­са R случайно и независимо друг от друга разбросано n точек. Чему равна вероятность того, что расстояние от центра сферы до ближайшей точки бу­дет не менее r, если r < R?" Решая эту задачу, студенты получают ответ р = 1-(1 - ) . Можно предложить выяснить, к чему будет стремиться полученная вероятность (и объяснить полученный ответ) при следующих условиях:

1) n, r фиксированы, R ;

2) n, R фиксированы, r R;

3) n, R фиксированы, r 0;

4) n, R фиксированы, r ;

5) n, R , причем .

( в звездной астрономии в окрестности Солнца 0,0063, если R измерено в парсеках).

24.В расчетной практике по абсорбции, дистилляции, экстракции и выщелачиванию встречается функция f(х) = .

Найти предел этой функции при х 1.

25. В начальный момент времени радиоактивный образец содержит N ядер. Распад происходит таким образом, что быст­рота уменьшения числа нераспавшихся ядер в любой момент времени про­порциональна наличному количеству нераспавшихся ядер к началу ука­занного момента времени (коэффициент пропорциональности ). Найти закон изменения числа нераспавшихся ядер со временем.

26. Скорость вывода массы лекарственного препарата из крови при однократном его введении со временем про­порциональна массе препарата в данный момент времени. Найти закон изменения массы препарата в крови со временем, если m(0)= m , к - коэффициент пропорциональности.

27. Конденсатор емкостью С замкнут на сопротивление R. Первоначальный заряд конденсатора известен и ра­вен q . Найти закон изменения заряда со временем q(t).

28. Пучок света интенсивностью I падает на поверхность вещества. Найти закон изменения интенсивности от расстояния, пройденного светом в веществе, полагая, что быстрота уменьшения интенсивности в некоторой точке с увеличением рас­стояния пропорциональна величине интенсивности (коэффициент про­порциональности ).

29. Лодка массой m двигалась в воде с по­стоянной скоростью v . В некоторый момент времени двигатель вы­ключается. Найти закон дальнейшего изменения скорости со време­нем, считая силу сопротивления пропорциональной скорости (коэффициент пропорциональности к).

30.Первоначальный вклад в банк составил S(0) = 1000 усл. единиц. Найти наращенное за 10 лет значение суммы, если оно реинвестиру­ется по постоянной ставке i = 25 % при следующих значениях m: а) 1 раз в год; б) ежеквартально; в) непрерывно.

31.Количество возможных клиентов некото­рой фирмы, в результате хорошо организованной рекламы, увеличи­вается со временем пропорционально количеству знающих об услугах этой фирмы в данный момент. Найти закон изменения количества клиентов, если М(0)= А , с - коэффициент пропорциональности. Как изменится количество клиентов через два дня, если за первый день количество возможных клиентов возросло на 25%.

32.Лодка массой m двигалась в воде с постоянной скоростью v . В некоторый момент времени двигатель выключается. Найти закон дальнейшего изменения скорости со временем, считая силу сопротивления пропорциональной скорости (коэффициент пропорциональности к).

33. Скорость вывода массы лекарственного препарата из крови при однократном его введении со временем пропорциональна массе препарата в данный момент времени. Найти закон изменения массы препарата в крови со временем, если m(0) = m , где к – коэффициент пропорциональности.

Литература по прикладные задачи

1. Беляев. Сборник задач по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1972. 832 с.

2. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1966. 460 с.

3. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики. М.: Наука, 1972. 462 с.

4. Зельдович Я.Б., Яглом И.М. Высшая математика для начинающих физиков и техников. М.: Наука, 1982. 512 с.

5. Зетель С.И. Задачи на максимум и минимум. М.; Л.: Гостехиздат 1948. 224 с.

6. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.: Госиздат, 1968. 359 с.

7. Ноздрин И.Н., Степаненко И.М., Костюк Л.К. Прикладные задач по высшей математике. Киев, Вища школа, 1976, 176 с.

8.Очан Ю.С. Методы математической физики. М.: Высшая школа, 1965. 320 с.

9.Пономарев К.К. Составление и решение дифференциальных урав­нений инженерно-технических задач. М.: Учпедгиз, 1948. 98 с

10.Соболев С.Л. Уравнения математической Физики. М.-Л.: ОГИЗ, 1947. 248 с.