![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Полный и дробный факторные экспериментыЭксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом (ПФЭ). При двух уровнях имеем ПФЭ типа Условие эксперимента записываются в виде таблицы. Строки её соответствуют различным опытам (вектор-строка), столбцы - значениям факторов в кодированном виде (вектор-столбцы). Такие таблицы называются матрицами планирования эксперимента (МПЭ). Составим МПЭ для двумерной модели на двух уровнях Таблица 3.2 Матрица планирования ПФЭ
Для плана Симметричность относительно центра эксперимента. Алгебраическая сумма элементов столбца каждого фактора равно нулю:
Условие нормировки. Сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов:
Ортогональность матрицы. Сумма поэлеметных произведений любых двух векторов-столбцов матрицы равна нулю
Ортогональные планы делают эксперимент более эффективным и позволяют получать оценки для коэффициентов уравнения регрессии независимые друг от друга. Иными словами ортогональность характеризует отсутствие связей между факторами. Коэффициенты
Однако, если имеет место нелинейность, то столбцы взаимодействий окажутся неразличимы, связанными с некоторыми столбцами линейных эффектов. Это приводит к тому, что по результатам данного эксперимента становится невозможным разделить коэффициенты регрессии между линейными и нелинейными факторами. Один из часто встречающихся видов нелинейности связан с тем, что эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор. В этом случае говорят, что имеет место эффект взаимодействия двух факторов. Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценивать эффекты взаимодействия. Для этого надо, пользуясь правилом перемножения столбцов, получить столбец произведения двух факторов. При вычислении коэффициента, соответствующего эффекту взаимодействия, с новым вектор-столбцом можно обращаться так же, как с вектор-столбцом любого фактора. Тогда уравнение принимает вид
Матрица полнофакторного эксперимента с учетом фактора взаимодействия для ПФЭ 22 показана в табл.3.3. Таблица 3.3 Матрица планирования ПФЭ
Коэффициенты уравнений регрессии оцениваются следующим образом:
По столбцам Для трех факторов матрица ПФЭ
Таблица 3.4 Матрица ПФЭ для трех факторов
В зависимости от соотношения числа неизвестных коэффициентов уравнения регрессии Во многих реальных процессах некоторые факторы взаимодействия могут отсутствовать. И тогда ПФЭ будет обладать избыточностью опытов. Рассмотрим пути минимизации числа опытов. Обратимся к уравнению (3.4). Если есть информация о том, что в выбранных интервалах варьирования процесс может быть описан линейной моделью, то достаточно определить три коэффициента Таблица 3.5 Матрица планирования дробно-факторного эксперимента
При этом эксперименте появляются смешанные оценки
которые невозможно отделить от эффектов факторов Пример. Допустим Для составления МПЭ ДФЭ вводится понятие определяющего контраста, которыйпозволяет определить, какие оценки смешаны друг с другом, не изучая МПЭ, для выявления совпадающих столбцов. Для этого используется символичное обозначение произведения столбцов равного +1 или -1. Это и называют контрастом. Чтобы определить какой эффект смешан с данным, нужно помножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту. Пример. Пусть имеем три фактора Таблица 3.6 Матрица планирования дробно-факторного эксперимента
Возьмем в качестве определяющего контраста -1= Теперь возьмем за определяющий контраст 1= Соотношение, показывающее, с какими из эффектов смешан данный эффект, называется генерирующим соотношением. При выборе полуреплики 24-1 возможны восемь генерирующих соотношений:
Однако, если имеется информация об эффектах взаимодействия, то реплики нужно выбирать с ее учетом. Реализация МПЭ ДФЭ ничем не отличается от реализации МПЭ ПФЭ. Методика оценки значимости коэффициентов и проверка адекватности модели проводится также как и в ПФЭ. Если при выбранной реплике некоторые коэффициенты получаются отличными от нуля, например: Дробные реплики находят широкое применение при получении линейных моделей, причем, целесообразность применения их возрастает с ростом количества факторов. Эффективность применения дробных реплик зависит от выбора системы смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия. Планирование экспериментов при построении квадратичных регрессионных моделей Линейные модели или неполные квадратичные не всегда адекватны экспериментальным данным, кроме того их использование не позволяют определить оптимальные значения факторов, поэтому для уточнения экстремальных значений необходимо строить более эффективные модели, которыми и являются квадратичные. Для двухфакторного эксперимента модель может быть представлена выражением
Векторы - столбцы Следовательно, планирование эксперимента на двух уровнях не дает возможности получить раздельные оценки коэффициентов при квадратичных членах и свободного члена Согласно теории интерполяции, для решения задачи нахождения раздельных оценок число уровней каждой из независимых переменных должно быть на единицу больше степени интерполяционного полинома. Для полинома второй степени число уровней должно быть равно трем. Однако применение методов ПФЭ плана Ядром ЦКП является план ПФЭ Общее количество опытов при ЦКП определяется по формуле:
где Например, в качестве двухфакторных планов второго порядка могут служить планы, представляемые вершинами и, по крайней мере, одной центральной точкой любого
Рисунок 3.4 - Восьмиугольный план эксперимента
Таблица 3.7
Добавление звездных и центральной точек к ПФЭ позволяет получить раздельные оценки В зависимости от критерия оптимальности плана, различают ортогональное и рототабельное композиционное планирование. Ортогональные планы оптимальны с точки зрения простоты обработки полученной информации: все оценки коэффициентов уравнения регрессии определяют независимо друг от друга, незначимые коэффициенты отбрасываются без перерасчета оставшихся значимых. Величина «звездного» плеча в таких планах равна единице. Анализ результатов экспериментов при ортогональном композиционном планировании имеет некоторые особенности. Так оценки коэффициентов уравнения регрессии находятся с неодинаковой дисперсией. Из-за неодинаковой дисперсии коэффициентов регрессии критерий ортогональности является недостаточно сильным критерием оптимальности для планирования второго порядка. Поэтому точность предсказания выходной величины в различных направлениях факторного пространства неодинакова. Лучшим методом планирования является такой метод, который обеспечивает одинаковую точность во всех направлениях на одинаковом расстоянии от центра. Таким методом является рототабельное композиционное планирование Рототабельные планы(РЦКП) обеспечивают одинаковую точность и постоянную дисперсию экспериментальных данных во всех напрвлениях на равных расстояних от центра плана: План, приведенный в табл. 3.7, является рототабельным и обеспечивает получение раздельных оценок Величина «звездного» плеча определяется из соотношений:
Для обеспечения точности эксперимента число центальных точек Таблица 3.8
Матрица планирования рототабельного плана второго порядка для трехфакторного эксперимента представлена в таблице 3.9.
Таблица 3.9 Матрица рототабельного планирования 3-факторного эксперимента
Эксперимент проводится аналогично ПФЭ, однако оценки коэффициентов рассчитываются по следующим формулам: где Проверка значимости коэффициентов уравнения и адекватности модели будет рассмотрен ниже.
|