![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Метод крутого восхожденияИзвестно, что кратчайший путь – это движение по градиенту, т.е. перпендикулярно касательным к линиям уровня, на которых функция отклика принимает постоянные значения В связи с этим при оптимизации рабочее движение целесообразно совмещать в направлении наиболее быстрого возрастания функции отклика, т.е. в направлении градиента функции. Как известно, градиентом функции В этом случае шаговое движение осуществляется в направлении наискорейшего возрастания функции отклика, т.е
Рисунок 3.6 - Процедура оптимизации методом крутого восхождения
Пусть в окрестности точки Мо, как центра плана, поставлен ПФЭ 22. Координаты отдельных опытов соответствуют точкам 1-4. По результатам ПФЭ можно рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии:
После чего можно найти градиент
продифференцировав уравнение (3.9):
Для движения по градиенту необходимо изменять факторы пропорционально их коэффициентам регрессии в сторону, соответствующую знакам коэффициентов. В процессе поиска двигаются в этом направлении, пока не будет найден локальный максимум (т.М1). после чего находят направление градиента, осуществляя ПФЭ, и далее процедура повторяется. Практически алгоритм сводится к следующей последовательности операций: 1. Планирование и постановка ПФЭ (или ДФЭ) в окрестности точки начального состояния (М0). Расчет коэффициентов линейной регрессии; определении направления градиента. 2. Расчет произведений 3. Выбор базового фактора 4. Выбор шага крутого восхождения для базового фактора 5. Расчет шагов изменения других факторов по формуле: 6. Составление плана движения по градиенту: в соответствии с определенными значениями шагов изменения факторов 7. В окрестности локального экстремума ставят новую серию опытов (ПФЭ или ДФЭ) для определения новых значений коэффициентов уравнения регрессии и нового направления градиента. В дальнейшем процедура повторяется до достижения нового локального экстремума и т.д., вплоть до определения окрестности координат максимума функции отклика, которая носит название почти стационарной области. Признаком достижения этой области является статистическая незначимость коэффициентов Для задач, где требуется определить координаты не максимума, а минимума функции отклика, знаки Симплекс-планирование Позволяет без предварительного изучения влияния факторов найти область оптимума. Т.к. здесь не требуется определение градиента, то этот метод относится безградиентным метода поиска оптимума. Для этого используется специальный план эксперимента в виде симплекса. Симплекс – простейший выпуклый многогранник, образованный
Симплекс называется правильным, если все расстояния между его вершинами (ребра) равны. Алгоритм симплекс планирования: Строится исходный симплекс, проводятся опыты в его вершинах и анализируются результаты. 1. Выбирается вершина, в которой получено наименьшее значение функции отклика. Для движения к оптимуму ставится опыт в новой точке, являющейся зеркальным отображением точки с наихудшим (минимальным) результатом. Процесс повторяется до тех пор, пока не будет найдена почти стационарная область. 2. Не смотря на то, что путь может быть и не прямолинеен, общее число опытов может быть не большим. При симплекс-планировании выбор размеров симплекса и его начальное положение произволен. Для окончания процесса используются следующие критерии: 1 – разность значений функции отклика в вершинах симплекса становится меньше ранее заданной. Это означает вход в почти стационарную область вблизи оптимума, либо достижения области оптимума в виде «плато»; 2 - отражение любой из вершин симплекса после однократного «качания» приводит к возврату в исходное положение. При этом есть основания считать, что симплекс накрыл область оптимума. 3 – циклическое движение симплекса вокруг одной из его вершин на протяжении более, чем нескольких шагов. Т.е. циркулирует вокруг области оптимума. В случаях 2 и 3 рекомендуется уменьшать размеры симплекса, т.е. расстояние между вершинами, до уточнения координаты оптимума. Данный метод прост, но работает не достаточно быстро. Наиболее быстрым является метод, основанный на его модификации - метод деформируемого многогранника. Ускорение достигается за счет того, что отражение осуществляется не на постоянную величину. На рис. 3.7 показана точка 4 очередного опыта при нормальном отражении наихудшей вершины 1, точки 5′, 5′′, 5′′′ последующих опытов для случаев, соответственно, растяжения, сжатия и отрицательного сжатия многогранника.
|