КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Линейные операции над векторами. Задача 1. В равнобедренной трапеции ABCD угол АDС равен , , и
Задача 1. В равнобедренной трапеции ABCD угол АDС равен , , и середины сторон и соответственно. Выразить векторы через и орты направлений и .
Решение.
| Выберем треугольник, в который входит
неизвестный вектор, а два других либо даны, либо их можно найти.
4) Из имеем: . Так как и , то , .
, то . Тогда
| 5) Из имеем: ; .
| Для нахождения вектора определим его длину.
Из условия , следовательно .
Тогда ,
т.е. .
| 6) Из : .
, .
, т.е. .
7) Из : 
, .
Задача 2.Найти орт биссектрисы угла между двумя векторами и .
Решение. Перенесём векторы и в одну точку. Диагональ четырёхугольника
| совпадает с биссектрисой угла, если четырёхугольник ромб. Если найти орты направлений, то получим векторы и единичной длины. Построим на и параллелограмм, который будет являться ромбом.
| Следовательно, диагональ делит угол ромба пополам, т.е. является биссектрисой угла. Найдём и . Векторы и имеют координаты: , тогда , , ,
.
Задача 3.Образуют ли векторы базис в пространстве ? Если да, то найти линейную зависимость вектора от векторов , и .
Решение. Три вектора образуют базис в тогда и только тогда, когда они линейно независимы. Аналитически это означает, что уравнение с неизвестными имеет единственное нулевое решение, а это означает, что определитель системы . Составим систему:
, т.е. 
,
следовательно, система имеет единственное решение , тогда,
векторы линейно независимы и образуют базис. Поэтому, вектор можно разложить по данному базису единственным образом, т.е. :
. Решим систему методом Гаусса.
.

Получим .
|