Тема 6. Метод переменных состояния. Управляемость и наблюдаемость непрерывных САУ

6.1. Метод переменных состояния

Метод переменных состояния основан на понятии «состояние системы». Состояние динамической системы описывается совокупностью физических переменных характеризующих поведение системы в будущем при условии, если известно состояние в исходный момент времени и приложенные к системе воздействия.

Поясним понятие переменных состояния на примере дистанционной следящей системы (рис. 6.1). Будем считать, что все звенья системы линейны. Таким образом, в рассматриваемой системе отпадает необходимость линеаризации. Разобьем систему на динамические звенья и найдем их уравнения.

Чувствительный элемент. В качестве чувствительного элемента использованы два сельсина: сельсин-датчик СД и сельсин-приемник СП, включенные по трансформаторной схеме. Ротор СД связан с командной осью и поворачивается вместе с ней на угол Ротор СП связан с исполнительной осью и поворачивается вместе с ней на угол Роторная обмотка СД подключена к источнику переменного тока. Магнитный поток, создаваемый этой обмоткой, наводит э.д.с. в статорных обмотках СД, соединенных по схеме «звезда». Статорные обмотки СП служат электрической нагрузкой для СД и создают в СП магнитный поток, направление которого совпадает с магнитным потоком, создаваемым в СД. Если магнитная ось роторной обмотки СП перпендикулярна вектору индукции магнитного поля, то э.д.с. в этой обмотке не образуется и напряжение на ее выходе В этом случае магнитные оси роторов СД и СП взаимно перпендикулярны. При повороте командной оси перпендикулярность между осями роторов СД и СП нарушается на величину ошибки рассогласования

, (6.1)

и на выходе роторной обмотки СП появится напряжение

(6.2)

где k₁-коэффициент передачи сельсинов.

Передаточная функция сельсинов равна коэффициенту передачи схемы:

. (6.3)

Усилитель. Напряжение U₁ поступает на вход усилителя У. Считая усилитель инерционным звеном с очень малой постоянной времени , можно записать его передаточную функцию в виде

(6.4)

где - коэффициент усиления по напряжению; - напряжение на выходе усилителя.

Дифференциальное уравнение усилителя в соответствии с его передаточной функцией имеет вид

(6.5)

Двигатель. С выхода усилителя напряжение U₂ поступает на управляющую обмотку асинхронного двухфазного двигателя Д. В установившемся режиме работы при постоянных значениях напряжения U₂ и момента сопротивления М_с угловая скорость вращения выходного вала двигателя равна

w_д=k₃U₂-k₄M_c , (6.6)

где k₃, k₄– передаточные коэффициенты, зависящие от конструктивных параметров двигателя.

В переходных режимах, вызванных изменением величин U₂ и М_с, процесс изменения скорости w_д во времени может быть смоделирован дифференциальным уравнением первого порядка:

, (6.7)

где Т_м – электромеханическая постоянная времени двигателя.

Угол поворота выходного вала двигателя J_д связан с угловой скоростью w_д кинематическим дифференциальным уравнением

. (6.8)

Уравнения (6.7) и (6.8) запишем в символической форме

(6.9)

где передаточные функции имеют вид:

. (6.10)

Редуктор. Двигатель через редуктор Р поворачивает исполнительную ось и связанный с ней ротор СП на угол , уменьшая ошибку . Передаточная функция редуктора равна его коэффициенту передачи, определяемому передаточным отношением.

(6.11)

Уравнение редуктора J₂=k₅ J_д . (6.12)

Объединим уравнения (6.1), (6.2), (6.5), (6.7), (6.8), (6.12) в одну систему, исключив из неё алгебраические уравнения путём подстановки.

(6.13)

. (6.13)

В качестве переменных состояния введем переменные

Задающее воздействие обозначим переменной , возмущающее воздействие обозначим переменной

Подставляя введенные обозначения в уравнения (6.13), получим

(6.14)

Система дифференциальных уравнений (6.14) и является системой уравнений в переменных состояния для рассматриваемой системы.

В векторно-матричной форме уравнения (6.14) имеют вид:

(6.15)

где матрица размером матрицы-столбцы. Порядок системы уравнений в рассматриваемом примере

Матрицу – столбец называют вектором состояния. Матрицы А, В, М для рассматриваемого примера имеют вид:

(6.16)

Для полного описания системы к уравнениям (6.16) необходимо добавить уравнение, устанавливающее связь между переменными состояния и выходными переменными системы регулирования. В рассматриваемом случае выходная переменная одна, это угол поворота исполнительной оси которую обозначим переменной y:

(6.17)

В матричной форме уравнение выхода (6.17) имеет вид:

(6.18)

где матрица выхода, в данном примере - матрица – строка размером :