ВИзначення матриці S

Щоб оцінити параметри моделі, коли дисперсії залишків визначаються , потрібно визначити матрицю S.

Спинимось на визначенні матриці S.

оскільки явище гетероскедастичності пов’язане лише з тим, що змінюються дисперсії залишків, а коваріація між ними відсутня, то матриця S має бути діагональною, а саме:

Щоб пояснити, чому саме такий вигляд має ця матриця, потрібно ще раз наголосити: за наявності гетероскедастичності для певних вихідних даних одна (або кілька) пояснювальних змінних можуть різко змінюватись від одного спостереження до іншого, тоді як залежна змінна має такі самі коливання, як і для попередніх спостережень.

Але це означає, що дисперсія залишків, яка змінюватиметься від одного спостереження до іншого (чи для групи спостережень), може бути пропорційною до величини пояснювальної змінної X (або до її квадрата), яка зумовлює гетероскедастичність, або пропорційною до квадрата залишків.

Звідси в матриці S значення можна обчислити, користуючись гіпотезами:

а) , тобто дисперсія залишків пропорційна до зміни пояснювальної змінної ;

б) , тобто зміна дисперсії пропорційна до зміни квадрата пояснювальної змінної ( );

в) , тобто дисперсія залишків пропорційна до зміни квадрата залишків за модулем.

Для першої гіпотези:

Для другої гіпотези:

Для третьої гіпотези: або , або .

Оскільки матриця S — симетрична і додатно визначена, то при , матриця P має вигляд:

.

3. Узагальнений метод найменших квадратів
(метод Ейткена)

Економетрична модель, якій притаманна гетероскедастичність, є узагальненою моделлю, і для оцінювання її параметрів слід скористатися узагальненим методом найменших квадратів. Розглянемо цей метод.

Нехай задано економетричну модель

(1)

коли .

Задача полягає в знаходженні оцінок елементів вектора А в моделі. Для цього використовується матриця S, за допомогою якої коригується вихідна інформація. Ця ідея була покладена в основу методу Ейткена.

Оскільки S — додатно визначена матриця, то вона може бути зображена як добуток , де матриця P є невиродженою, тобто:

, (2)

коли

; (3)

і

. (4)

Помноживши рівняння (1) ліворуч на матрицю , дістанемо:

. (5)

Позначимо ;

;

.

Тоді модель матиме вигляд:

. (6)

Використовуючи (3), неважко показати, що

,

тобто модель (6) задовольняє умови (2, Гаусса-Маркова), коли параметри моделі можна оцінити на основі 1МНК.

Звідси

. (7)

Ця оцінка є незміщеною лінійною оцінкою вектора А, який має найменшу дисперсію і матрицю коваріацій

(8)

Hезміщену оцінку для дисперсії можна дістати так:

(9)

Оцінка параметрів , яку знайдено за допомогою (7), є оцінкою узагальненого методу найменших квадратів (методу Ейткена).

При заданій матриці S оцінку параметрів моделі можна обчислити згід­но із (7), а стандартну помилку — згідно із (8). Тому можна сконструю­вати звичайні критерії значущості і довірчі інтервали для параметрів .

Визначивши залишки і помноживши ліворуч на матрицю , дістанемо:

,

або .

Звідси .

Тоді .

Оскільки ,

то (10)

Отже, ми розбили загальну суму квадратів для (6) на суму квадратів регресії і залишкову. Згідно з цими даними дисперсійний аналіз буде виконано для перетворених вихідних даних. Крім того, коли незалежна змінна виміряна відносно початку відліку, а не у формі відхилення від середньої, то необхідно визначити її середнє значення і скористатись ним для корекції загальної суми квадратів і суми квадратів регресії.

Модель узагальненого методу найменших квадратів іноді специфі­кується у вигляді

(11)

де — відома симетрична додатно визначена матриця. Тоді вираз для оцінки параметрів згідно з методом Ейткена запишеться так:

, (12)

а для її коваріаційної матриці

. (13)

Питання для самоконтролю.

1. Дайте означення гомоскедастичності і гетероскедастичності.

2. Як впливає явище гетероскедастичності на оцінку параметрів моделі?

3. Назвіть методи визначення гетероскедастичності.

4. Як перевіряється гетероскедастичність згідно з критерієм m?

5. Як застосовується параметричний тест для визначення гетероскедастичності?

6. У чому сутність непараметричного тесту?

7. Як визначається гетероскедастичність з допомогою регресії залишків?

8. Опишіть методи формування матриці S в умові .

9. Як використовується матриця S в методі Ейткена?

10. Які властивості повинна мати матриця S ?

11. Запишіть формулу обчислення матриці коваріацій параметрів моделі. Чим вона відрізняється від формули при застосуванні 1МНК?

12. Як дістати незміщену оцінку дисперсії залишків за наявності гетероскедастичності?

13. Запишіть оператор оцінювання параметрів моделі за методом Ейткена.

14. Як виконується прогноз за методом Ейткена?