Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Лекція 4. Точні розподіли деяких вибіркових характеристик




Якщо оцінки параметрів знаходяться з генеральної сукупності окремих значень випадкової величини X, яка підпорядковується нормальному закону розподілу, то це ще не означає, що самі оцінки (а вони, як зазначено раніше, також є випадковими величинами) мають теж нормальний розподіл. Через те, що оцінки параметрів використовуються для розв’язування багатьох статистичних задач, потрібно знати точні закони розподілу хоча би головних вибіркових характеристик (статистик). До таких законів відносяться розподіли c2(хі – квадрат), t – розподіл (“Studenta”), F – розподіл (Фішера).

4.1 Розподілc2

Даний розподіл має випадкова величина, яка є сумою квадратів незалежних випадкових величин, які підпорядковуються нормальному закону розподілу з математичними сподіваннями та дисперсіями

.

c2– розподіл (хі – квадрат розподіл) задається функцією густини ймовірностей

(4.23)

де – гама-функція, k – число, пов’язане з обсягом вибірки n і називається “кількістю ступенів довільності”. Число k визначається як різниця між кількістю випадкових величин (обсягом вибірки n) і кількістю зв’язків між ними (лінійних співвідношень).

Наприклад, завжди існує таке співвідношення між випадковими величинами, які утворюють вибірку:

,

оскільки середнє арифметичне є оцінкою центра розподілу mx. Тому для c2– розподілу k = n – 1.

Із виразу (4.23) видно, що густина c2– розподілу залежить тільки від одного параметра n (або k). Графік функції fk(x) для різних значень k показано на рис.3.5.

Із рисунка видно, що c2– розподіл розташовано праворуч від початку координат і зі збільшенням k він наближається до нормального розподілу. Функція fk(x), а також інтеграл ймовірностей

(4.24)

де – вибіркове середнє квадратичне відхилення. Закон розподілу t – статистики знайдено В.Госсетом (псевдонім „Student”) у вигляді функції густини розподілу

. (4.27)

Графік функції густини ймовірностей sk(x) симетричний відносно осі ординат (див.Рис.4.6), а це значить, що M[t] = 0. Дисперсія розподілу „Studenta” дорівнює . Із зростанням k крива t – розподілу наближається до кривої нормального розподілу f(x; 0; 1), а для значень k > 30 розподіл t можна замінити нормальним розподілом.

 

Рис. 4.6

Функція розподілу (інтегральний закон) має вигляд

. (4.28)

Диференціальна та інтегральна функції t – розподілу є протабульованими для різних k і значення їх поміщено у відповідні таблиці. Також побудовано таблиці критичних точок t – розподілу (див. Додаток, табл.4)

, (4.29)

що визначають частину площі в % під кривою густини розподілу “studenta”, яку займає статистика t.

4.3. Розподіл FФішера-Снедекора

Важливе застосування в дисперсійному аналізі має статистика F

, (4.30)

де незалежні випадкові величини U і V розподілені за законом ckk2ступенями довільності відповідно. Диференціальна функція розподілу, графік якої зображено рисунком 4.7 (густина ймовірностей випадкової величини F) має вигляд

(4.31)

 

а відповідна їй функція розподілу називається F – розподілом (або розподілом Фішера-Снедекора) із k1та k2 ступенями довільності, які є параметрами розподілу.

Таблиці (див. Додаток, табл.5) для F – розподілу використовуються такі, де за відомими k1і k2 можна знайти значення Fq, для якого

, (4.32)

тобто Fq– це q – відсоткова верхня межа розподілу F.

Як правило, використовують значення q = 5%, q = 2,5%, q = 1% зі широким діапазоном величин kk2.

Розглянемо тепер практичне застосування наведених теоретичних розподілів у різних задачах математичної статистики.


Поделиться:

Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 133; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.011 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты