Перевірка гіпотези про рівність центрів розподілу двох нормально розподілених генеральних сукупностей

Перевірка такої гіпотези виникає у тих випадках, коли середній результат однієї серії експериментів суттєво відрізняється від середнього другої серії. В даних ситуаціях завжди виникає питання: чи можна пояснити розбіжності випадковимипохибками експерименту, або ці розбіжності викликані деякими незауваженими, або навіть невідомими, факторами.

У промисловості така задача виникає при вибірковому контролі якості виробів, виготовлених на різних установках або при різних технологічних схемах.

У геодезичній практиці, користуючись методом порівняння двох середніх нормальних генеральних сукупностей, можна провести точний теоретично-ймовірнісний аналіз результатів вимірювань, які отримано однаковими або різними інструментами, кількома спостерігачами в однакових або різних умовах спостережень.

Розглянемо приклад.

Нехай потрібно визначити, чи буде новий спосіб виробництва електроламп змінювати їх тривалість.

Відомо, що середня тривалість їх роботи при існуючому методі виробництва складає 500 годин.

Досліджуючи нову технологію виготовлення електроламп, для деякої невеликої партії отримали середню тривалість роботи 560 годин.

У статистичному сенсі виникає задача порівняння двох генеральних сукупностей з різними центрами розподілу.

Позначимо їх n1(при старому методі) і n2(при новому). При цьому ми не знаємо точного значення n2, але наближено його можна оцінити за вибірковими даними.

Висуваємо нульову гіпотезу Н0: n1= n2= n і альтернативну Н1: n1¹ n2.

Нехай середнє квадратичне відхилення знайдено та дорівнює 45 годинам (тут – оцінка центра розподілу другої генеральної сукупності).

За критерій перевірки гіпотези Н0в даному випадку природно вибрати нормоване відхилення

.

Це відхилення має нормальний закон розподілу з параметрами mz= 0; sz= 1.

Оскільки альтернативною гіпотезою є гіпотеза Н1: n1¹ n2, то за критичну область краще взяти двобічну область типу III (великих за абсолютною величиною відхилень)

де – q%-на межа відхилень, яка задовольняє умову

і знаходиться з таблиці для функції Лапласа (див. Додаток, табл.2). Вибираємо рівень значущості q = 5%, тоді критична область визначається зі співвідношення

.

За значенням ймовірності із таблиці (див. Додаток, табл.2) знаходимо =1,96. Тепер критична область задаватиметься нерівністю

Отримане із вибірки середнє значення годин знаходиться за межами критичної області (60 < 88). Це означає, що гіпотеза Н0приймається і відхилення в 60 годин може виникати лише під дією випадкових факторів, які супроводжують вибірку.

Інакше кажучи, спостереження критерія не досягло “значущих” (суттєвих) розмірів, і в нас ще немає достатньо підстав вважати, що новий спосіб виробництва електроламп суттєво відрізняється від старого. Потрібні нові випробовування, і якщо результат буде аналогічний, то треба шукати інший спосіб підвищення довготривалості електроламп і не приймати до уваги запропонований.

Як бачимо, результат перевірки гіпотези залежить від рівня значущості. 5%-ий рівень означає, що подія (потрапити випадковій величині у критичну область) стає неможливою, маючи ймовірність . Якщо збільшувати цю ймовірність, тоді будемо звужувати довірчі межі та розширювати критичну область, а тим самим при інших рівних умовах гіпотеза буде частіше відхилятися. Такі спростування можуть стати ненадійними, тобто можуть бути віднесені і до вірної гіпотези, через те, що ймовірності порядку 0,2 ¸ 0,3 вже не можна вважати ймовірностями практично неможливих подій.

При зменшенні рівня значущості межі розширюються, а критична область звужується, і гіпотеза в такому разі все менше буде спростовуватись навіть у тих випадках, коли вона вже не буде справедливою. Тобто критерій стане “нечутливим”.

Таким чином, треба правильно вибирати критичну область, яка контролює потужність критерія та рівень значущості, хоча, як ми вже відзначали, це відбувається інтуїтивно.

Припустимо тепер, що при повторному випробовуванні електроламп середня тривалість їх роботи стала рівною 605 годинам. Тепер при гіпотезі Н0: n1= n2= n альтернативною буде Н1: n2> n1. При такій альтернативі потужність критерія буде найбільшою у випадку критичної області I типу (великі додатні відхилення).

За співвідношенням (6.41)

із таблиці інтегралу ймовірностей знайдемо

.

Критична область тепер визначатиметься так:

.

Відхилення годин вже є значущим (74<105). Тому гіпотеза Н0відхиляється (спростовується).

Отже, такий метод виробництва електроламп вже може збільшувати їх довготривалість.

Із наведеного прикладу видно певний порядок дій при перевірці статистичної гіпотези про рівність центрів розподілу різних генеральних сукупностей.

Наведемо його.

1. Формулювання нульової H0та конкуруючої H1 гіпотез.

2. Вибір та обчислення статистичного (вибіркового) критерія перевірки гіпотези (Kстат. або Kобч.).

3. Вибір рівня значущості (q %).

4. Визначення критичної області та області прийняття гіпотези.

5. Порівняння обчисленого критерія із критичним значенням та прийняття статистичного рішення.

Такий порядок зберігається і для перевірки інших статистичних гіпотез.

Розглянемо тепер задачу перевірки гіпотези про рівність центрів розподілу різних генеральних сукупностей в загальному випадку.

Нехай досліджуються дві нормально розподілені випадкові величини X та Y.

Маємо дві незалежні вибірки з обсягами n1та n2із генеральних сукупностей величин X та Y. Необхідно перевірити гіпотезу H0: M[X] = M[Y]. При цьому дисперсії генеральних сукупностей та можуть бути відомими, або невідомими.

Розглянемо випадок з відомими дисперсіями та .

Якщо дисперсійні величини X і Y відомі, то для перевірки гіпотези H0можна скористатися тим, що різниця двох вибіркових середніх матиме нормальний закон розподілу з параметрами і

Якщо гіпотеза H0є справедливою, то .

За критерій перевірки доцільно брати нормоване відхилення

, (6.45)

яке буде мати також нормальний закон розподілу з параметрами M[Z] = 0, D[Z] = 1.

Критична область будується в залежності від вигляду конкуруючої гіпотези H1. Тут виникають три випадки.