Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Лекція 5. Оцінки параметрів розподілу за малими вибірками. Довірчі інтервали




Читайте также:
  1. Автоматичне формування актів переоцінки
  2. Аналіз вихідних даних для оцінки прав на об’єкти інтелектуальної власності
  3. Визначення основних параметрів видання
  4. Виписка актів переоцінки товарів
  5. Гетьман І. Мазепа: оцінки діяльності. Конституція П. Орлика та її історичне значення.
  6. Довірчий інтервал для оцінки дисперсії і середнього квадратичного відхилення
  7. Загальна характеристика методичного інструментарію оцінки вартості потенціалу підприємства
  8. Загальні підходи до оцінки проектів
  9. Застосування елементів інвестиційного аналізу для оцінки економічної ефективності об’єктів інтелектуальної власності
  10. ЗНАХОДЖЕННЯ параметрів моделі методом найменших квадратів

Оцінки невідомих параметрів розподілу, розглянуті в параграфі 3.3, виконано за допомогою відповідних числових характеристик. Такі оцінки, як зазначено, є точковими і їх використовують у вибірках великого обсягу (як відомо, для елементів таких вибірок виконується закон великих чисел). Для вибірок малих обсягів числове значення оцінюваного параметра таким способом можна отримати тільки наближено. Похибка при цьому збільшуватиметься зі зменшенням обсягу вибірки.

Отже, для вибірок малих обсягів необхідно вказати точність і надійність оцінки, тому що точкові оцінки, у таких випадках є лише деякими випадковими величинами.

Для того, щоб мати точну і надійну оцінку для параметра q потрібно для будь-якого малого числа a > 0 вказати таке d, щоб виконувалася умова

P(|– q| < d ) = P(-d < – q < d ) = P(– d < q < + d ) = 1 – a . (5.33)

Чим меншим для даного a буде значення d, тим точнішою буде оцінка .

Отже, число d характеризує точність оцінки. Співвідношення (3.33) виконується з ймовірністю p = 1 – a. Тобто, можна сказати, що ймовірність того, що інтервал (– d; + d ) із випадковими кінцями накриває (як говорять в стастистиці) невідомий параметр q, дорівнює 1 – a. Такий інтервал називають довірчим інтервалом, а ймовірність (1 – a) – довірчою ймовір-ністю. Довірча ймовірність (її позначають g) характеризує надійність оцінки і вважається досить близькою до одиниці (g = 0,95, 0,98, 0,999).

Тобто інтервал (– d; + d ) буде довірчим інтервалом для параметра q тільки з певною довірчою ймовірністю g.

Розглянемо побудову довірчих інтервалів для деяких параметрів нормально розподіленої генеральної сукупності.

5.1. Довірчий інтервал для оцінки центра розподілу
при відомому параметрі
sx

Нехай кількісна ознака X генеральної сукупності розподілена нормально з густиною розподілу f (x, mx, sx). При цьому є відомим параметр sx. Необхідно оцінити невідомий параметр mxза вибірковим середнім .

Отже, треба знайти (побудувати) довірчий інтервал, який накриває невідомий параметр із певною надійністю g.

Вибіркове середнє з відомих причин розглядатимемо як випадкову величину.

Якщо випадкова величина X розподілена нормально з параметрами mx, sx, то вибіркове середнє , яке знайдено з окремих значень величини X також має нормальний розподіл з параметрами mxі .



Розглянемо ймовірність події

P(| – mx| < d ) = g, (3.34)

яку для нормального розподілу знайдемо, використовуючи функцію Лапласа, тобто

P(| – mx| < d ) = 2F0(Z),

де – аргумент функції Лапласа,

звідки

і P(| – mx| < ) = 2F0(Z),

або

P( – < mx< +) = g . (5.35)

Отже з надійністю g можна стверджувати, що довірчий інтервал ( – ; +) накриває невідомий параметр mx, а точність оцінки – d = .

Значення функції Ф0(Z) знаходиться з таблиці для функції Лапласа за обраною довірчою ймовірністю g (див. Додаток, табл. 2).

Зауважимо, що:

1) для фіксованого значення z, а значить зі збільшенням обсягу n, точність інтервального оцінювання збільшується;

2) збільшення надійності оцінки g = 2F0(Z) веде до збільшення Z, оскільки функція F0(Z) є неспадною, а тому для фіксованого обсягу n величина d зростає, що приводить до збільшення довжини довірчого інтервалу, а значить, і до зменшення точності оцінки d;

3) близькість до одиниці довірчої ймовірності встановлюється величиною
a
(g = 1 – a), яка є q %-ою критичною точкою відповідного розподілу, (див. § 3.4). Наприклад, якщо g = 0,96, тоді . Це означає, що тільки у 4 % вибірок оцінюваний параметр не буде знаходитися у довірчому інтервалі, а у 96 % вибірок цей інтервал буде містити в собі невідомий параметр.



Приклад 1. Випадкова величина X має нормальний розподіл зі середнім квадратичним відхиленням sx= 2. Знайти довірчий інтервал для оцінкиматематичного сподівання mxза вибірковим середнім = 41, якщо n = 16 , g = 0,95.

Розв’язання. Запишемо вираз для довірчого інтервалу

.

За таблицею для функції Лапласа із використанням рівності g = 2F0(z) знаходимо z = 1,96. Обчислимо значення виразу . Тоді довірчий інтервал буде

Отже, у 95 % невідоме математичне сподівання міститься в інтервалі

.

Точність оцінки буде d = 0,98.

Приклад 2. Знайти мінімальний обсяг вибірки, якщо необхідна точність d = 0,5 (більша у порівнянні з попереднім прикладом) для надійності g = 0,95 і середнього квадратичного відхилення sx= 2.

Розв’язання. Використовуємо вираз , звідки .

Таким чином, збільшення точності (зменшення величини d ) веде до суттєвого збільшення обсягу вибірки.

5.2. Довірчий інтервал для оцінки центра розподілу при невідомому sx

Як і у попередньому випадку, скористаємося точковою оцінкою для математичного сподівання mx. Замість невідомого sxможна використати вибіркове середнє квадратичне відхилення s або s0(незміщену оцінку). Величини s і s0, як відомо, мають c2– розподіл.Тоді можемо знайти величину , яка має розподіл „Studenta” з k = n – 1 ступенями довільності.

Отже, для ймовірності можна за таблицею (див. Додаток, табл.4) знайти q %-ні межі , для яких

,

або (3.36)

для будь-якого mx .



Отже, інтервал

(5.37)

цілком накриває математичне сподівання mx.

Приклад 3. Побудувати довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання mx, якщо n = 9; g = 0,95; = 6; Sx= 3.

Розв’язання. Із використанням інтервалу (3.37) шукані межі будуть

.

За таблицею критичних точок розподілу „Studenta”, числом k = 9 – 1 = 8 (кількістю ступенів довільності) і q/100 = 1 – g = 0,05 знаходимо tq,k= 2,31.

У результаті отримаємо

,

або

 

.

Тепер для порівняння обчислимо межі довірчого інтервалу за допомогою критичних точок нормального розподілу, вважаючи, що S = sx. Тоді за таблицею функції Лапласа знаходимо z = 1,96 і довірчий інтервал буде

,

або

.

Довжина інтервалу за розподілом „Studenta” 8,31 – 3,69 = 4,62 є більшою за довжину, отриману за нормальним розподілом 7,96 – 4, 04 = 3,92. Здавалося б, що остання оцінка краща, але вона зроблена у припущені виконання рівності
S
= sx, якої взагалі не існує. Тому нормальний розподіл у цьому випадку штучно звужує інтервал, а оцінка, проведена за розподілом „Studenta”, використовуючи достовірну інформацію, є об’єктивнішою.


Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 155; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2022 год. (0.021 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты