Лекція 5. Оцінки параметрів розподілу за малими вибірками. Довірчі інтервали

Нехай кількісна ознака X генеральної сукупності розподілена нормально з густиною розподілу f (x, mx, sx). При цьому є відомим параметр sx. Необхідно оцінити невідомий параметр mxза вибірковим середнім .

Отже, треба знайти (побудувати) довірчий інтервал, який накриває невідомий параметр із певною надійністю g.

Вибіркове середнє з відомих причин розглядатимемо як випадкову величину.

Якщо випадкова величина X розподілена нормально з параметрами mx, sx, то вибіркове середнє , яке знайдено з окремих значень величини X також має нормальний розподіл з параметрами mxі .

Розглянемо ймовірність події

P(| – mx| < d ) = g, (3.34)

яку для нормального розподілу знайдемо, використовуючи функцію Лапласа, тобто

P(| – mx| < d ) = 2F0(Z),

де – аргумент функції Лапласа,

звідки

і P(| – mx| < ) = 2F0(Z),

або

P( – < mx< +) = g . (5.35)

Отже з надійністю g можна стверджувати, що довірчий інтервал ( – ; +) накриває невідомий параметр mx, а точність оцінки – d = .

Значення функції Ф0(Z) знаходиться з таблиці для функції Лапласа за обраною довірчою ймовірністю g (див. Додаток, табл. 2).

Зауважимо, що:

1) для фіксованого значення z, а значить зі збільшенням обсягу n, точність інтервального оцінювання збільшується;

2) збільшення надійності оцінки g = 2F0(Z) веде до збільшення Z, оскільки функція F0(Z) є неспадною, а тому для фіксованого обсягу n величина d зростає, що приводить до збільшення довжини довірчого інтервалу, а значить, і до зменшення точності оцінки d;

3) близькість до одиниці довірчої ймовірності встановлюється величиною
a(g = 1 – a), яка є q %-ою критичною точкою відповідного розподілу, (див. § 3.4). Наприклад, якщо g = 0,96, тоді . Це означає, що тільки у 4 % вибірок оцінюваний параметр не буде знаходитися у довірчому інтервалі, а у 96 % вибірок цей інтервал буде містити в собі невідомий параметр.

Приклад 1. Випадкова величина X має нормальний розподіл зі середнім квадратичним відхиленням sx= 2. Знайти довірчий інтервал для оцінкиматематичного сподівання mxза вибірковим середнім = 41, якщо n = 16 , g = 0,95.

Розв’язання. Запишемо вираз для довірчого інтервалу

.

За таблицею для функції Лапласа із використанням рівності g = 2F0(z) знаходимо z = 1,96. Обчислимо значення виразу . Тоді довірчий інтервал буде

Отже, у 95 % невідоме математичне сподівання міститься в інтервалі

.

Точність оцінки буде d = 0,98.

Приклад 2. Знайти мінімальний обсяг вибірки, якщо необхідна точність d = 0,5 (більша у порівнянні з попереднім прикладом) для надійності g = 0,95 і середнього квадратичного відхилення sx= 2.

Розв’язання. Використовуємо вираз , звідки .

Таким чином, збільшення точності (зменшення величини d ) веде до суттєвого збільшення обсягу вибірки.

5.2. Довірчий інтервал для оцінки центра розподілу при невідомому sx