Додавання і віднімання невід’ємних раціональних чисел. Теореми про існування та єдиність суми і різниці. Властивості (закони) додавання.

5. Однією з умов розширення множини цілих чисел була вимога про необхідність збереження сутності та правил виконання операцій над цілими числами в новій числовій множині. Саме тому, будемо визначати операції над невід’ємними раціональними числами так, щоб це не суперечило правилам виконання цих операцій у попередній числовій множині. Для цього, як ми вже зазначали, кожне ціле число будемо розглядати як дріб із знаменником 1. Оскільки 1+2=3, тобто , то + = = . Саме тому доцільно прийняти таке означення.

Означення: сумою двох дробових чисел з однаковими знаменниками є дробове число, чисельник якого дорівнює сумі чисельників, а знаменник – дорівнює їх спільному знаменнику.

Наприклад, . Прийняте означення можна поширити на будь-яку скінченну кількість доданків, наприклад: . Як же бути в тому випадку, коли дроби мають різні знаменники? – звести їх до спільного знаменника і додати за попереднім означенням. Можна прийняти і наступне означення.

Означення: сумою двох невід’ємних раціональних чисел називається третє невід’ємне раціональне число , тобто = .

У жодному з означень нічого не говориться про існування та єдиність суми невід’ємних раціональних чисел. Саме тому слід довести відповідні теореми.

Теорема: сума невід’ємних раціональних чисел існує і єдина.