АНАЛІЗ НЕПЕРЕРВНОЇ ЛІНІЙНОЇ САК. Аналіз та синтез САК є одним з основних етапів проектування, який передбачає складання математичної моделі та дослідження кількісних та якісних властивостей

Аналіз та синтез САК є одним з основних етапів проектування, який передбачає складання математичної моделі та дослідження кількісних та якісних властивостей об’єкту керування (ОК), виконавчих механізмів, регулюючих органів та пристроїв, що забезпечують автоматичну роботу системи. Вихідною інформацію на проектування є технічний опис ОК та пристроїв автоматики у вигляді функціональних та принципових схем а також їх математичний опис, складений на основі відомих законів та формалізмів механіки, електротехніки, фізики та інших фундаментальних та прикладних наук. Найбільш простими і розвиненими з точки зору дослідження і проектування є лінійні САК, етапи аналізу яких наведено у наступних пунктах виконання курсового проектування.

За заданою функціональною схемою технічної системи та математичним описом процесів, які перебігають в її окремих елементах, представленим лінійними диференційними рівняннями, одержати передатні функції цих елементів за відомими правилами перетворення Лапласа.

Приклади застосування основних теорем перетворення Лапласа[BMV1] [7] для визначення передатних функції елементів САК наведені в пункті 1 додатку 1 (вирази 1-5).

1.2. На основі отриманих передатних функцій елементів САК та аналізу функціональної схеми скласти структурну схему системи, приклад якої зображено на рис. 1.1.

Рис. 1.1.Структкрна схема САК:

g – вхідний сигнал; y – вихідних сигнал; e – сигнал похибки;
f – сигнал збурення.

1.3. Визначити передатні функції розімкненої та замкненої САК за вхідною дією , за похибкою та за збуренням[BMV2] :

;

. (1.1)

Для визначення передатної функції за похибкою від перетворимо структурну схему (рис. 1.1.) до вигляду, зображеному на рис.1.2.

Рис. 1.2.Передатна функція замкненої САК за похибкою.

Тоді:

. (1.2)

Для визначення передатної функції замкненої САК за збуренням , перетворимо структурну схему (рис. 1.1.) до вигляду, зображеному на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Передатна функція замкненої САК за збуренням.

Тоді одержимо

, (1.3)

Аналогічні перетворення для конкретного прикладу наведені у виразах 1–13 додатку 1.

1.4. Визначити стійкість замкненої САК. Для цього використаємо характеристичне рівняння замкненої САК А(s)=0, до якого можна застосувати критерії стійкості Рауса, Гурвіца, Михайлова. У додатку 1 (вирази 14–15) наведено застосування критерію Гурвіца.

1.5. Визначити запаси стійкості заданої САК за варіантом. Для цього можна використати критерій Найквіста, або логарифмічні частотні характеристики.

В пункті 6 додатку 1 наведено використання критерію Найквіста для[BMV3] конкретного прикладу з детальним поясненням кожного етапу розрахунку та одержаних результатів.

Критерій Найквіста дозволяє графічно оцінити стійкість системи за амплітудно-фазочастотною характеристикою (АФЧХ), яка ілюструє зміну коефіцієнту передачі та різниці фаз поміж сигналами на вході та виході досліджуваної САК від їх спільної частоти. При цьому положенню АФЧХ на комплексній площині по відношенню до особливої точки (-1, j0), яке оцінюється в критерії, можна поставити у відповідність фізичну аналогію на рівні сигналів. Вона полягає у тому, що у випадку відставання за фазою сигналу на виході системи по відношенню до сигналу на вході при певній частоти більше ніж на 180 градусів (протифазний сигнал), його повернення каналом зворотного зв’язку на вхід системи призведе до сумування із вхідним сигналом та у випадку загального коефіцієнту передачі системи більшого за одиницю (АФЧХ охоплює особливу точку) амплітуда вихідного сигналу буде весь час збільшуватись, що свідчить про нестійкість системи. І навпаки, проходженню АФЧХ справа від особливої точки відповідатиме значення коефіцієнта передачі, менше за одиницю, що призведе до зменшення амплітуди вихідного сигналу і відповідно перебування системи у стійкому стані.

В пункті 7 додатку 1 для визначення запасів стійкості САК використані логарифмічні частотні характеристики розімкненої САК.

Основна ідея ґрунтується на наступному математичному правилі складання логарифмів. Якщо передатну функцію можна представити у вигляді дробово-раціональної функції:

, (1.4)

тоді, логарифмуючи рівність справа та зліва отримаємо:

. (1.5)

Після розбиття передатної функції на елементарні ланки можна побудувати логарифмічну амплітудно-фазочастотну характеристику (ЛАФЧХ) кожної окремої ланки, а результуючу ЛАФЧХ отримати простим додаванням.

При побудові ЛАЧХ для осі ординат звичайно використовується масштаб , тобто значення АЧХ, що дорівнює 100 перетворюється на 40 децибел шкали ЛАЧХ. Якщо передатна функція має вигляд:

, (1.6)

де – комплексна змінна, яку можна пов'язати з частотою, використовуючи наступну формальну заміну: , та – константи. Тоді побудувати ЛАЧХ можна використовуючи наступні правила:

· в кожному , де (нуль), нахил лінії збільшується на дБ/декаду.

· в кожному , де (полюс), нахил лінії зменшується на дБ/декаду.

Початкове значення графіка можна знайти простий підстановкою значення кругової частоти в передатну функцію.

Початковий нахил графіка залежить від числа і порядку нулів і полюсів, які менше початкового значення частоти. Він може бути знайдений за допомогою перших двох правил.

1.6. Корекція динамічних характеристик САК. Якщо запаси стійкості заданої САК виявились меншими від загально прийнятих норм (на практиці, надійно працююча система повинна мати запас за амплітудою та за фазою [BMV4] ), або система виявилась нестійкою, необхідно виконати корекцію динамічних характеристик.

Корекція системи відноситься до етапу синтезу САК, тому що при її виконанні потрібно з'ясувати, які додаткові ланки повинні бути введені в систему для забезпечення заданих якісних та кількісних показників.

Зазвичай, необхідні запаси стійкості і показники перехідного процесу забезпечуються за рахунок включення відповідних коригувальних ланок послідовно з основними ланками або введення додаткових зворотних зв'язків. У деяких випадках система без коригувальних ланок взагалі не може працювати, так як вона є структурно нестійкою, тобто має таку структуру, при якій годограф амплітудно-фазової характеристики при будь-якому підсиленні в контурі регулювання охоплює точку (-1, j0). Прикладом може служити система, яка містить дві інтегруючі ланки, з'єднані послідовно.

Коригувальні пристрої використовуються також для звуження смуги пропускання системи, що дозволяє зменшити вплив завад. Коригувальні ланки описуються спеціально підібраними передатними функціями. Вони можуть включатися або послідовно з основними ланками САК, або паралельно з ними.

Найбільше застосування отримали наступні послідовні коригувальні ланки: пропорційно-диференціюючі, пропорційно-інтегруючі, пропорційно-інтегро-діференціюючі.

Іншим видом коригувальних пристроїв є паралельні коригувальні пристрої, що реалізуються у вигляді місцевих зворотних зв'язків, що охоплюють одну або декілька ланок системи. Розрізняють два види зворотних зв'язків – жорсткий та гнучкий.

При жорсткому зворотному зв’язку, вихідний сигнал ланок, які

охоплені цим зв'язком, подається на вхід системи. Жорсткий зворотній зв'язок впливає на систему як при перехідних процесах, так і в сталому стані.

При гнучкому зворотному зв’язку, на вхід системи передаються похідні від вихідного сигналу основної групи ланок. Гнучкий зворотній зв'язок впливає на систему тільки при перехідних процесах, тобто коли вихідний сигнал змінюється в часі.

В пунктах 8та9 додатку 1 наведено приклад використання послідовної корекції САК за допомогою пасивних коригувальних ланок. Використовуючи логарифмічні частотні характеристики розімкненої САК, визначена структура та параметри коригувальної ланки. Послідовна корегуючи ланка включається в ту частину системи, де циркулюють слабкі за потужністю сигнали.