![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Обработка выборки методом наименьших квадратов
Оценка параметров линейной функции
При экспериментальном изучении функциональной зависимости одной величины Y от другой величины Х делают ряд измерений величины у при разных значениях х. Результаты могут быть представлены в виде таблицы:
Метод, основанный на требовании минимизации суммы квадратов отклонений, называется методом наименьших квадратов. С его помощью изображают статистическую функциональную зависимость в виде аналитической зависимости и выражаются такие оценки параметров уравнения регрессии, которые сводят к минимуму избранную меру разброса. В результате происходит выравнивание эмпирических значений в одну линию регрессии. При этом, для однозначного определения как меру разброса используют один из показателей рассеивания случайной величины – дисперсию. Предположим, что диаграмма рассеивания такова, что между величинами х и у существует линейная зависимость
где параметры а и Это означает, что отклонение фактических значений функции от «подобранной прямой»
Пусть Тогда должна выполняться равенство
Нужно определить параметры а и b так, чтобы z достигло минимума. Известно, что необходимое условие существования минимума заключается в том, что: После дифференцирования и упрощений, получим систему уравнений которая называется системой нормальных уравнений в случае выбора эмпирической функции в виде линейной зависимости.
Пример 1. Методом наименьших квадратов найти значение параметров эмпирической функции, если исследовательские данные о значениях х и у представленные в таблице:
Решение. 1. По выборке наблюдений построим в системе координат х0у диаграмму рассеивания, то есть построим точки
2. Анализ исследовательских данных показывает, что в качестве эмпирической (подобранной) функции можно использовать линейную функцию
Для нахождения параметров а и b применим МНК. Тогда для определения параметров а и b необходимо решить систему нормальных уравнений: 3. Для удобства вычислений составим следующую расчетную таблицу (
Подставим данные последней строки таблицы в нормальную систему уравнений: Решив систему, получим
Подставляя эти значения параметров, получим эмпирическую функцию:
которая описывает зависимость между случайными величинами х и у. 2.8 Индивидуальное семестровое задание №2 «Метод наименьших квадратов»
По предоставленным статистическим данным подобрать эмпирическую функцию, и: 1. построить диаграмму рассеивания, 2. записать эмпирическую функцию, 3. записать систему нормальных уравнений, 4. составить расчетную таблицу, 5. решить полученную систему и записать эмпирическую функцию с найденными параметрами. Считая, что зависимость между переменными 1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
|