Решение типовых задач. Пример 9.1. Партия, насчитывающая 100 изделий, содержит 10 дефектных

Пример 9.1. Партия, насчитывающая 100 изделий, содержит 10 дефектных. Из всей партии случайным образом отбираются с целью проверки качества 5 изделий (случайная выборка). Найти математическое ожидание числа дефектных изделий, содержащихся в случайной выборке.

Решение.

Случайное число дефектных изделий, содержащихся в выборке, может иметь следующие значения:

Вероятности того, что X принимает данное значение , равны (см. пример 8.1)

( 1, 2, 3, 4, 5, 6).

Искомое математическое ожидание

.

Так как есть коэффициент при в произведении , то есть коэффициент при в выражении

.

Следовательно,

, а

Пример 9.2. Дискретная случайная величина задана рядом распределения 1, 2, 3, … , .Выразить математическое ожидание случайной величины через производящую функцию

.

Решение.

По определению математического ожидания случайной величины

.

С другой стороны, значение производной от производящей функции, вычисленное при , равно

.

Следовательно,

.

Пример 9.3. Опыт может быть успешным с вероятностью р и неуспешным с вероятностью 1 —р.

Условная вероятность достижения намеченного результата после т успешных опытов Р(т) равна

.

Найти математическое ожидание числа независимых опытов, необходимых для достижения намеченного результата.

Решение.

Обозначим вероятность достижения намеченного результата при опытах. Если — вероятность иметь ровно т успешных из общего числа п опытов, то согласно формуле полной вероятности

Так как опыты независимы и вероятность успешного исхода в каждом из них равна р, то

.

Подставляя в формулу для значения и Р(т), получим

.

Для достижения намеченного результата потребуется ровно п опытов, если при п-м опыте он будет достигнут. Вероятность последнего события равна . Следовательно, математическое ожидание случайного числа опытов, необходимых для достижения намеченного результата,

Для вычисления последней суммы воспользуемся равенством

,

справедливым при . Полагая в данном случае , получим

.

Пример 9.4. Прибор имеет п предохранителей. В случае перегрузки сгорает один из предохранителей, который заменяется новым. Каково математическое ожидание числа перегрузок , после которых в приборе окажутся замененными все первоначально установленные предохранители, если выход из строя в момент перегрузки любого из п предохранителей (как незамененного, так и нового) равновероятен?

Решение.

Обозначим математическое ожидание числа перегрузок, после которых все первоначально установленные п предохранителей окажутся замененными, если остались незамененными предохранителей.

Для вычисления воспользуемся формулой полного математического ожидания. Если остались незамененными предохранителей , то для повреждения одного из них потребуется очередная перегрузка. В зависимости от результатов очередной перегрузки будут различными средние числа перегрузок, необходимых для сгорания предохранителей, оставшихся из числа первоначально установленных.

При очередной перегрузке могут произойти два события:

— сгорел один из первоначально установленных предохранителей, вероятность чего ;

— сгорел замененный предохранитель, вероятность чего .

Если при очередной перегрузке произойдет событие , то математическое ожидание числа перегрузок для замены всех предохранителей, не замененных до очередной перегрузки, будет равно . Если же при очередной перегрузке произойдет событие А₂, то это математическое ожидание будет равно . На основании формулы полного математического ожидания имеем

или, после несложных преобразований,

.

Если , т. е. остался лишь один незамененный.предохранитель, то вероятность его замены равна . Следовательно, на основании примера 9.3 будем иметь

Итак, имеем цепь равенств:

суммируя которые, получим

или

.

Пример 9.5. В результате испытаний двух приборов (А и В) установлена вероятность появления помех, оцениваемых по трехбалльной системе (табл. 6). (В случае отсутствия помех их уровень принимается равным нулю).

Таблица 6.

По приведенным данным выбрать лучший прибор, если лучшим является тот, который в среднем имеет меньший уровень помех.

Решение.

Обозначим через X случайный уровень помех. Средний уровень помех для прибора А

балла.

Для прибора В

балла.

Итак, по среднему баллу оба прибора равноценны. В качестве дополнительного критерия сравнения используем среднее квадратическое отклонение уровня помех:

балла,

балла.

Таким образом, прибор А дает более устойчивые показания относительно средних, и, следовательно, он лучше прибора В.