Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Решение типовых задач. Пример 9.1. Партия, насчитывающая 100 изделий, содержит 10 дефектных




Читайте также:
  1. Hешаем задачу
  2. I. Задачи настоящей работы
  3. I. Решение логических задач средствами алгебры логики
  4. I. Цели и задачи проекта
  5. II. Объем и сроки выполнения задач в рамках проекта
  6. II. Основные цели и задачи Программы, срок и этапы ее реализации, целевые индикаторы и показатели
  7. II. Решение логических задач табличным способом
  8. II. Упражнения и задачи
  9. II. Упражнения и задачи
  10. II. Упражнения и задачи

Пример 9.1. Партия, насчитывающая 100 изделий, содержит 10 дефектных. Из всей партии случайным образом отбираются с целью проверки качества 5 изделий (случайная выборка). Найти математическое ожидание числа дефектных изделий, содержащихся в случайной выборке.

Решение.

Случайное число дефектных изделий, содержащихся в выборке, может иметь следующие значения:

Вероятности того, что X принимает данное значение , равны (см. пример 8.1)

( 1, 2, 3, 4, 5, 6).

Искомое математическое ожидание

.

Так как есть коэффициент при в произведении , то есть коэффициент при в выражении

.

Следовательно,

, а

 

Пример 9.2. Дискретная случайная величина задана рядом распределения 1, 2, 3, … , .Выразить математическое ожидание случайной величины через производящую функцию

.

Решение.

По определению математического ожидания случайной величины

.

С другой стороны, значение производной от производящей функции, вычисленное при , равно

.

Следовательно,

.

 

Пример 9.3. Опыт может быть успешным с вероятностью р и неуспешным с вероятностью 1 —р.

Условная вероятность достижения намеченного результата после т успешных опытов Р(т) равна

.

Найти математическое ожидание числа независимых опытов, необходимых для достижения намеченного результата.

Решение.

Обозначим вероятность достижения намеченного результата при опытах. Если — вероятность иметь ровно т успешных из общего числа п опытов, то согласно формуле полной вероятности

Так как опыты независимы и вероятность успешного исхода в каждом из них равна р, то

.

Подставляя в формулу для значения и Р(т), получим

.

Для достижения намеченного результата потребуется ровно п опытов, если при п-м опыте он будет достигнут. Вероятность последнего события равна . Следовательно, математическое ожидание случайного числа опытов, необходимых для достижения намеченного результата,

Для вычисления последней суммы воспользуемся равенством

,

справедливым при . Полагая в данном случае , получим

.

Пример 9.4. Прибор имеет п предохранителей. В случае перегрузки сгорает один из предохранителей, который заменяется новым. Каково математическое ожидание числа перегрузок , после которых в приборе окажутся замененными все первоначально установленные предохранители, если выход из строя в момент перегрузки любого из п предохранителей (как незамененного, так и нового) равновероятен?



Решение.

Обозначим математическое ожидание числа перегрузок, после которых все первоначально установленные п предохранителей окажутся замененными, если остались незамененными предохранителей.

Для вычисления воспользуемся формулой полного математического ожидания. Если остались незамененными предохранителей , то для повреждения одного из них потребуется очередная перегрузка. В зависимости от результатов очередной перегрузки будут различными средние числа перегрузок, необходимых для сгорания предохранителей, оставшихся из числа первоначально установленных.

При очередной перегрузке могут произойти два события:

— сгорел один из первоначально установленных предохранителей, вероятность чего ;

— сгорел замененный предохранитель, вероятность чего .

Если при очередной перегрузке произойдет событие , то математическое ожидание числа перегрузок для замены всех предохранителей, не замененных до очередной перегрузки, будет равно . Если же при очередной перегрузке произойдет событие А2, то это математическое ожидание будет равно . На основании формулы полного математического ожидания имеем



или, после несложных преобразований,

.

Если , т. е. остался лишь один незамененный.предохранитель, то вероятность его замены равна . Следовательно, на основании примера 9.3 будем иметь

Итак, имеем цепь равенств:

суммируя которые, получим

или

.

Пример 9.5. В результате испытаний двух приборов и В) установлена вероятность появления помех, оцениваемых по трехбалльной системе (табл. 6). (В случае отсутствия помех их уровень принимается равным нулю).

Таблица 6.

Уровень помех
Вероятность появления помех данного уровня Прибор А 0,20 0,06 0,04
Прибор В 0,06 0,04 0,10

По приведенным данным выбрать лучший прибор, если лучшим является тот, который в среднем имеет меньший уровень помех.

Решение.

Обозначим через X случайный уровень помех. Средний уровень помех для прибора А

балла.

Для прибора В

балла.

Итак, по среднему баллу оба прибора равноценны. В качестве дополнительного критерия сравнения используем среднее квадратическое отклонение уровня помех:

балла,

балла.

Таким образом, прибор А дает более устойчивые показания относительно средних, и, следовательно, он лучше прибора В.

 


Дата добавления: 2014-12-23; просмотров: 140; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.02 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты