Решение типовых задач. Пример 10.1. Плотность вероятности случайных амплитуд боковой качки корабля имеет вид (закон Рэлея)

Пример 10.1. Плотность вероятности случайных амплитуд боковой качки корабля имеет вид (закон Рэлея)

.

Определить:

а) математическое ожидание М[X];

б) дисперсию D[Х] и среднее квадратическое отклонение ;

в) центральные моменты третьего и четвертого порядков и .

Решение.

Вычисление моментов сводится к вычислению интегралов вида

целое),

которые равны: при n четном

,

где

,

и при n нечетном

.

Математическое ожидание случайной амплитуды боковой качки равно

.

Произведя замену переменных , получим

.

б) Так как

, то

.

в) ,

где .

Следовательно,

,

, где

Следовательно, .

Пример 10.2. Найти срединное отклонение случайной величины, плотность вероятности которой имеет вид (распределение Лапласа)

.

Решение.

Так как плотность вероятности симметрична относительно нуля, то . Срединное отклонение Е вычисляется по формуле

.

Отсюда .