Задачи для самостоятельной работы. 11.1. Математическое ожидание числа отказов радиоаппаратуры за 10000 часов работы равно 10

11.1. Математическое ожидание числа отказов радиоаппаратуры за 10000 часов работы равно 10. Определить вероятность отказа радиоаппаратуры за 100 часов работы.

(Ответ: )

11.2. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят 4 абонента?

(Ответ: )

11.3. Аппаратура содержит 2000 одинаково надежных элементов, вероятность отказа для каждого из которых равна р = 0,0005. Какова вероятность отказа аппаратуры, если он наступает при отказе хотя бы одного из элементов?

(Ответ: )

11.4. В течение часа коммутатор получает в среднем 60 вызовов. Какова вероятность того, что за время 30 сек, в течение которых телефонистка отлучилась, не будет ни одного вызова?

(Ответ: )

11.5. Вероятность того, что изделие не выдержит испытания, равна 0,001. Найти вероятность того, что из 5000 изделий более чем одно не выдержит испытания. Сравнить результаты расчетов, полученных с использованием распределения Пуассона и с использованием биномиального распределения. В последнем случае расчет производить с помощью семизначных таблиц логарифмов.

(Ответ: 1) 0,95958; 2) 0,95963)

11.6. За рассматриваемый период времени среднее число ошибочных соединений, приходящееся на одного телефонного абонента, равно 8. Какова вероятность, что для данного абонента число ошибочных соединений будет больше 4?

(Ответ: 0,9)

11.7. Найти вероятность того, что среди 200 изделий окажется более трех бракованных, если в среднем бракованные изделия составляют 1%.

(Ответ: 0,143)

11.8. Корректура в 500 страниц содержит 500 опечаток. Найти вероятность того, что на странице не меньше трех опечаток.

(Ответ: )

11.9. В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток времени 7,5 сек, испускало в среднем 3,87 -частицы. Найти вероятность того, что за 1 сек это вещество испустит хотя бы одну -частицу.

(Ответ: 0,4)

11.10. Определить асимметрию случайной величины, распределенной по закону Пуассона. (Асимметрией называется отношение ).

(Ответ: )

11.11. В аппаратурный отсек космической ракеты за время ее полета попадает элементарных частиц с вероятностью

.

Условная вероятность для каждой из них попасть при этом в уязвимый блок равна р. Найти вероятность попадания в блок:

а) ровно k частиц;

б) хотя бы одной частицы.

(Ответ: а) ; б) )

11.12. Определить дисперсию числа атомов радиоактивного вещества, распадающегося в единицу времени, если даны масса вещества М, период полураспада , атомный вес вещества А, число атомов в грамм-атоме .

Рассеиванием и поглощением частиц пренебречь.

Число Авогадро N₀ = — число атомов в грамм-атоме, т. е. в количестве вещества, вес которого в граммах равен атомному весу.

Периодом полураспада вещества называется время, в течение которого масса радиоактивного вещества уменьшается в среднем вдвое.

(Ответ: . Составить дифференциальное уравнение для среднего числа частиц в момент времени . Приравнять среднее число частиц половине первоначального. Полученное в результате этого уравнение дает возможность найти вероятность распада данной частицы; умножая ее на число частиц, получим )

11.13. Определить вероятность того, что в экран площадью см², поставленный на расстоянии r=5 см перпендикулярно потоку от -радиоактивного вещества, попадает в течение секунды:

а) ровно десять -частиц;

б) не менее двух -частиц,

если период полураспада вещества лет, масса вещества М — 0,1 г, атомный вес вещества А = 238.

Рассеиванием и поглощением частиц пренебречь.

Число Авогадро N₀ = — число атомов в грамм-атоме, т. е. в количестве вещества, вес которого в граммах равен атомному весу.

Периодом полураспада вещества называется время, в течение которого масса радиоактивного вещества уменьшается в среднем вдвое.

(Ответ: а) ; б) , где )

11.14. Доказать, что полиномиальное распределение

,

где

,

а

,

можно аппроксимировать функцией

,

где , если все вероятности , за исключением ,малы, а велико.

(Указание: Представить в виде:

, где . Так как и конечны, то )