I. Теоретические сведения. 1. Эллиптический параболоид.

1. Эллиптический параболоид.

Определение. Эллиптическим параболоидом называется множество точек пространства, координаты которых в некоторой системе координат удовлетворяют следующему уравнению

. (1)

Уравнение (1) – каноническое уравнение эллиптического параболоида.

Из уравнения параболоида следует:

1) Все точки эллиптического параболоида лежат выше плоскости xOy;

2) Плоскости симметрии эллиптического параболоида: yOz, xOz;

ось симметрии эллиптического параболоида: Oz;

центра симметрии у эллиптического параболоида нет.

3) Вершина эллиптического параболоида: О(0; 0; 0) – начало координат.

Исследование эллиптического параболоида методом сечений.

1) Сечение плоскостью a, параллельной плоскости .

(2)

Или

. (3)

а) Если , то линия пересечения эллипс;

б) если , то линия пересечения мнимый эллипс;

в) если , то линия пересечения пара мнимых пересекающихся прямых с действительной точкой пересечения.

2) Сечение плоскостью b, параллельной плоскости .

(4)

Или

. (5)

При любом значении h получаем параболу, ось которой параллельна оси Oz, В частности, если , то , и в сечении мы получаем параболу ;

3) Сечение плоскостью g, параллельной плоскости .

(6)

Или

. (7)

При любом значении h получаем параболу, ось которой параллельна оси Oz, ветви направлены вверх. В частности, если , то , и в сечении мы получаем параболу .

2. Гиперболический параболоид.

Определение. Гиперболическим параболоидом называется множество точек пространства, координаты которых в некоторой системе координат удовлетворяют следующему уравнению

. (8)

Уравнение (8) – каноническое уравнение гиперболического параболоида.

Из уравнения параболоида следует:

1) Гиперболический параболоид поверхность неограниченная;

2) Плоскости симметрии гиперболического параболоида: yOz, xOz;

ось симметрии: Oz;

центра симметрии у гиперболического параболоида нет.

3) Вершина: О(0; 0; 0) – начало координат.

Исследование гиперболического параболоида методом сечений.

1) Сечение плоскостью a, параллельной плоскости .

(9)

Или

. (10)

а) Если , то линия пересечения гипербола с действительной осью параллельной оси Ох;

б) если , то линия пересечения гипербола с действительной осью параллельной оси Oy;

в) если , то линия пересечения пара действительных пересекающихся прямых.

2) Сечение плоскостью b, параллельной плоскости .

(11)

Или

. (12)

При любом значении h получаем параболу, ось которой параллельна оси Oz, В частности, если , то , и в сечении мы получаем параболу ;

3) Сечение плоскостью g, параллельной плоскости .

(13)

Или

. (14)

При любом значении h получаем параболу, ось которой параллельна оси Oz, ветви направлены вниз. В частности, если , то , и в сечении мы получаем параболу .

3. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.

Определение. Прямая l называется прямолинейной образующей поверхности второго порядка, если каждая точка этой прямой лежит на поверхности.

Очевидно, что образующие конических и цилиндрических поверхностей являются прямолинейными образующими. Кроме того, прямолинейные образующие имеют однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид. У однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида существует два семейства прямолинейных образующих, таких что:

1) через каждую точку поверхности проходят по одной прямолинейной образующей из каждого семейства;

2) любые две прямолинейные образующие одного семейства являются скрещивающимися.

Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида задаются следующими системами уравнений:

I. II. (15)

где k и l – любые числа.

Прямолинейные образующие гиперболического параболоида задаются следующими системами уравнений:

I. II. (16)