Линейные операции над векторами

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Пусть и – два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор . От точки А отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : (см. рис. 2).

Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.

Сумму двух векторов можно также построить по правилу параллелограмма (см. рис. 3).

На рисунке 4 показано сложение трех векторов и .

Под разностью векторов и понимается вектор такой, что (см. рис. 5).

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах и , одна направленная диагональ является суммой векторов и , а другая – разностью (см. рис. 6).

Можно вычитать векторы по правилу: , т.е. вычитание векторов заменить сложением вектора с вектором, противоположным вектору .

Произведением вектора на скаляр (число) называется вектор (или ), который имеет длину , коллинеарен вектору имеет направление вектора ,

если и противоположное направление, если . Например, если дан вектор,

то векторы и будут иметь вид и .

Из определения произведения вектора на число следуют свойства этого произведения:

1) если , то || . Наоборот, если || , ( ), то при некотором верно равенство ;

2) всегда , т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. .

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.