ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

Основные понятия

Линия на плоскости часто задается как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности).

Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел – ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т.е. равенства, связывающего координаты точек линии).

Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Переменные х и у в уравнении называются текущими координатами точек линии.

Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.

Так, для того, чтобы установить лежит ли точка на данной линии достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбранной системе координат.

Пример 10.1. Лежат ли точки и на линии ?

Решение: Подставив в уравнение вместо х и у координаты точки K, получим . Следовательно, точка K лежит на данной линии. Точка L не лежит на данной линии, т.к. .

Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями и , сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т.е. сводится к решению системы двух линейных уравнений в двумя неизвестными:

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.

Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат.

Уравнение называется уравнением данной линии в полярной системе координат, если координаты любой точки, лежащей на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.

Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:

(10.1)

где х и у – координаты произвольной точки , лежащей на данной линии, а t - переменная, называемая параметром; параметр t определяет положение точки на плоскости.

Например, если , то значению параметра соответствует на плоскости точка (3;4), т.к. .

Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется параметрическим, а уравнения (10.1) – параметрическими уравнениями линии.

Чтобы перейти от параметрических уравнений линии к уравнению вида , надо каким-либо способом из двух уравнений исключить параметр t. Например, от уравнений путем подстановки во второе уравнение легко получить уравнение ; или , т.е. вида . Однако, заметим, такой переход нецелесообразен и не всегда возможен.

Линию на плоскости можно задать векторным уравнением , где t – скалярный переменный периметр. Каждому значению соответствует определенный вектор плоскости. При изменении параметра t конец вектора опишет некоторую линию (см. рис.31).

Векторному уравнению линии в системе координат Оху соответствует два скалярных уравнения (10.1), т.е. уравнения проекций на оси координат векторного уравнения линии есть ее параметрические уравнения.

Векторное уравнение и параметрические уравнения имеют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения, а линии – траекторией точки, параметр t при этом есть время.

Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение вида .

Всякому уравнению вида соответствует, вообще говоря, некоторая линия, свойства которой определяются данным уравнением (выражение «вообще говоря» означает, что сказанное допускает исключения. Так, уравнению соответствует не линия, а точка (2;3); уравнению на плоскости не соответствует никакой геометрический образ).

В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные задачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение; вторая: зная уравнение кривой изучить ее форму и свойства.

На рисунках 32-40 приведены примеры некоторых кривых и указаны их уравнения.