Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть в плоскости Оху задана произвольная прямая, не параллельная оси Оу. Ее положение вполне определяется ординатой b точки пересечения с осью Оу и углом α между осью Ох и прямой (см. рис. 41).

Под углом α наклона прямой понимается наименьший угол, на который нужно повернуть вокруг точки пересечения прямой и оси Ох против часовой стрелки ось Ох до ее совпадения с прямой.

Возьмем на прямой произвольную точку (см. рис. 41). Проведем через точку N ось , параллельную оси Ох и одинаково с ней направленную. Угол между осью и прямой равен α.

В системе точка М имеет координаты и . Из определения тангенса угла следует равенство , т.е.

. Введем обозначение , получаем уравнение

(10.2)

которому удовлетворяют координаты любой точки прямой. Можно убедиться, что координаты любой точки , лежащей вне данной прямой, уравнению (10.2) не удовлетворяют.

Число называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (10.2) – уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если прямая проходит через начало координат, то , и следовательно, уравнение этой прямой будет иметь вид .

Если прямая параллельна оси Ох, то , следовательно, и уравнение (10.2) примет вид .

Если прямая параллельна оси Оу, то , уравнение (10.2) теряет смысл, т.к. для нее угловой коэффициент не существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид

, (10.3)

где а – абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох. Отметим, что уравнения (10.2) и (10.3) есть уравнения первой степени.