И перпендикулярности двух прямых

Пусть прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и (см. рис. 46).

Требуется найти угол φ, на который надо повернуть в положительном направлении прямую вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой .

Решение: Имеем (теорема о внешнем угле треугольника) или Если , то

Но , поэтому

(10.12)

откуда легко получим величину искомого угла.

Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая, какая прямая является первой, какая – второй, то правая часть формулы (10.12) берется по модулю, т.е.

Если прямые и параллельны, то и . Из формулы (10.12) следует , т.е. . И обратно, если прямые и таковы, что , то , т.е. прямые параллельны. Следовательно, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов: .

Если прямые и перпендикулярны, то . Следовательно, . Отсюда , т.е. (или ). Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, условием перпендикулярности прямых является равенство .

Расстояние от точки до прямой

Пусть заданы прямая L уравнением и точка (см. рис. 47). Требуется найти расстояние от точки до прямой L.

Решение: Расстояние d от точки до прямой L равно модулю проекции вектора , где – произвольная точка прямой L, на направление нормального вектора . Следовательно,

(10.13)

что и требовалось получить.

Пример 10.3. Найти расстояние от точки до прямой

Решение: По формуле (10.13) получаем