Дополнительные сведения об эллипсе

Форма эллипса зависит от отношения . При эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса приобретает вид . В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются отношением .

Отношение половины расстояния между фокусами к большой полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой («эпсилон»):

,

(11.8)

причем , так как . С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

,

т.е.

и .

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет менее сплющенным; если положить , то эллипс превращается в окружность.

Пусть – произвольная точка эллипса с фокусами и (см. рис. 51). Длины отрезков и называются фокальными радиусами точки М. Очевидно,

.

Имеют месть следующие формулы

и .

Прямые называются директрисами эллипса. Значение

директрисы эллипса выявляется следующим утверждением.

Из равенства (11.6) следует, что . Если же , то уравнение (11.7) определяет эллипс, большая ось которого лежит на оси Оу, а малая ось – на оси Ох (см. рис. 52). Фокусы такого эллипса находятся в точках и , где .