Исследование формы эллипса по его уравнению

Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением.

1. Уравнение (11.7) содержит х и у только в четных степенях, поэтому если точка принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки , , . Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки , которую называют центром эллипса.

2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив , находим две точки и , в которых ось Ох пересекает эллипс (см. рис. 50). Положив

в уравнении (11.7) , находим точки пересечения эллипса с осью Оу: и . Точки называются вершинами эллипса. Отрезки и , а также их длины и называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа и называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

3. Из уравнения (11.7) следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит

единицы, т.е. имеют место неравенства , или и . Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми , .

4. В уравнении (11.7) сумма неотрицательных слагаемых и равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, т.е. если возрастает, то уменьшается и наоборот.

Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 50 (овальная замкнутая кривая).