Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.е. .

Действительно в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер.

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и смешанного умножения, т.е. . Действительно и . Знак в правой части этих равенств берем одни и те же, так как тройки векторов , , и , , – одной ориентации.

Следовательно, . Это позволяет записывать смешанное произведение векторов в виде без знаков векторного и скалярного умножения.

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т.е. , , .

Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.

4. Смешанное произведение ненулевых векторов , и тогда и только тогда, когда они компланарны.

Если , то , , – компланарны.

Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объемом . Но так как , то получили бы . Это противоречит условию: .

Обратно, пусть векторы , , – компланарны. Тогда вектор будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы , , , и, следовательно . Поэтому , т.е. .