Определение векторного произведения

Три некомпланарных вектора , и , взятые указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который:

1) перпендикулярен векторам и , т.е. и ;

2) имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (см. рис.17), т.е.

, где ,

3) векторы и и образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается или . Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами , и (см. рис. 18):

, , .

Докажем, например, что .

1) ;

2) , но ;

3) векторы , и образуют правую тройку (см. рис. 16).

7.2. Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е.

(см. рис.19).

Векторы и коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки , , и , , противоположной ориентации). Стало быть

.

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т.е. .

Пусть . Вектор перпендикулярен векторам и . Вектор также перпендикулярен векторам и (векторы и лежат в одной плоскости). Значит, векторы и коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:

и

.

Поэтому . Аналогично доказывается при .

3. Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т.е. .

Если , то угол между ними равен или 180°. Но тогда . Значит, .

Если же , то . Но тогда или , т.е. .

В частности, .

4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

.

Примем без доказательства.