Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Определение векторного произведения




 

Три некомпланарных вектора , и , взятые указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).

 


Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который:

1) перпендикулярен векторам и , т.е. и ;

2) имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (см. рис.17), т.е.

 
 


, где ,

3) векторы и и образуют правую тройку.

 

 
 

 


Векторное произведение обозначается или . Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами , и (см. рис. 18):

, , .

 

Докажем, например, что .

 

1) ;

2) , но ;

3) векторы , и образуют правую тройку (см. рис. 16).

 

7.2. Свойства векторного произведения


1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е.

(см. рис.19).

Векторы и коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки , , и , , противоположной ориентации). Стало быть

.

 

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т.е. .

 

 



Пусть . Вектор перпендикулярен векторам и . Вектор также перпендикулярен векторам и (векторы и лежат в одной плоскости). Значит, векторы и коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:

и

.

Поэтому . Аналогично доказывается при .

 

3. Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т.е. .


Если , то угол между ними равен или 180°. Но тогда . Значит, .

Если же , то . Но тогда или , т.е. .

 


В частности, .

 

4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

 

.

 

Примем без доказательства.

 


Поделиться:

Дата добавления: 2015-01-15; просмотров: 155; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.005 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты