Модальное управление

Сущность модального управления и его преимущества.

Поведение в системе автоматического управления определяется корнями характеристического уравнения, которым, в свою очередь, соответстуют составляющие свободного движения системы, называемые «модами».

Модальное управление — это такое управление, когда достигается требуемый характер переходных процессов за счет обеспечения необходимого расположения корней характеристического полинома на комплексной плоскости. При этом задача сводится к определению коэффициентов соответствующих обратных связей по состоянию объекта, а не путем применения корректирующих звеньев в прямой цепи САУ.

Это управление применяется тогда, когда все составляющие вектора состояния объекта управления доступны непосредственному измерению (полная управляемость).

Следует заметить, что термин “объект управления” следует воспринимать в более широком смысле, чем это принято в классической теории автоматического управления. Сюда следует относить исполнительные и рабочие органы, предшествующие им усилители и преобразователи, принимая их выходные сигналы в качестве составляющих выходного вектора объекта.

Четыре наиважнейших достоинства модального управления:

1. Синтезированная модальная САУ не требует проверки на устойчивость (так как она заранее должна быть устойчивой и обладать требуемой степенью устойчивости).

2. Синтезированная модальная САУ не требует введения дополнительных корректирующих устройств (так как она сама уже удовлетворяет требуемым показателям качества).

3. Введение модальных ОС, в силу их безынерционности, не повышает порядок объекта и не нарушает его управляемость и наблюдаемость (что зачас-

тую происходит при введении пассивных инерционных корректирующих устройств).

4. Относительная простота и экономичность технической реализации модальных САУ (так как реализации модальных ОС может быть выполнена с помощью маломощных измерительно-преобразовательных устройств и электронных усилителей с малыми тепловыми потерями).

Расчет и конструирование модальных регуляторов проводится в следующей последовательности.

Пусть полностью управляемый и наблюдаемый объект описывается следующими уравнениями в векторно-матричной форме:

(3.1)

где X — n-мерный вектор переменных состояния объекта (n — порядок объекта); Y и U — векторы выходной переменной и управления; A, B и C — матрицы соответственно коэффициентов характеристического уравнения, управления и наблюдения.

Сформируем обратную связь следующим образом:

где G — вектор задающих сигналов; K — матрица коэффициентов усиления промежуточного регулятора (усилителя); L — матрица коэффициентов обратных связей. Тогда обобщая уравнения замкнутой системы (3.1) и (3.2) получаем:

(3.3)

или в виде

(3.4)

где F = A - BKL.

Характеристическое уравнение полученной замкнутой системы определяется следующим образом:

где I — единичная матрица размерности nxn.

Поскольку собственные числа матрицы однозначно определяют коэффициенты характеристического полинома, задача может быть сформулирована следующим образом: для управляемой системы (3.1) с характеристическим полиномом найти вектор L коэффициентов обратных связей и предварительный коэффициент усиления K, чтобы замкнутая система (3.4) имела желаемую стандартную форму характеристического полинома (3.5) с заданными коэффициентами l_i.

Процедура расчета коэффициентов l₁,..., l_n проводится в следующей последовательности:

1. Выбираем желаемое распределение корней характеристического уравнения, то есть выбираем желаемую стандартную форму характеристического полинома замкнутой системы. С целью сокращения объема вычислений для случаев объектов высокого порядка целесообразно применить описание объекта в канонической управляемой форме Фробениуса.

2. Находим характеристический полином с помощью формулы (3.5). Коэффициенты этого полинома будут зависеть от неизвестных пока параметров l₁ и коэффициента усиления промежуточного усилителя K.

3. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях p полиномов, полученных на первом и втором шагах, получаем систему уравнений для определения неизвестных параметров l₁. Решив ее при известных остальных параметрах системы (матрицы А, B,С), находим искомые параметры модального регулятора (элементы матрицы L). При этом К промежуточного усилителя находится из условия получения требуемых переменных состояния в установившемся режиме, т.е. .