Метод переменных состояния

Векторное дифференциальное уравнение можно решить методом, который применяют для решения дифференциального уравнения первого порядка

dx /dt = ax + bu,

где х и u – скалярные функции времени; а и b – постоянные величины. Преобразуя уравнение по Лапласу, получим

p X (p) – x (0) = a X (p) + b U (p),

откуда

x (0) b

Х (p) = + U (p) .

p – a p – a

Обратное преобразование Лапласа данного уравнения дает искомое решение

t

x (t) = е ^аt х (0) + ∫ е^{а (t – τ)} b u (τ) dτ .

Решение векторного уравнения определим аналогичным образом, а именно

р X(p) - x(0) = AX(p) + BU(p)

или

X(p) = (p1 - A)^-1 x(0) + (p1 - A)^-1BU(p),

где 1- единичная ( n×n) матрица.

Аналогично

Y(p) = CX(p) + DU(p).

Если начальные условия нулевые, то

X(p) = (p1 - A)^-1BU(p).

В теории управления матрицы Y(p) и U(p) являются матрицами выхода и входа, поэтому матрицу

W(p) = C(p1 -A)^-1B,

устанавливающую связь между векторами выхода и входа, называют матрич-

ной передаточной функцией.

Решение неоднородного векторно-матричного уравнения можно найти, взяв обратное преобразование Лапласа L^-1[X(p)] :

t

x(t) = eхр (Аt) x(0) + ∫ ехр [A (t – τ)] B U(τ) dτ,

где ехр (Аt) =Ф (t) - матричная экспоненциальная функция или фундаментальная матрица;x(0) - матрица-столбец начальных значений переменных состояния.

Можно ввести обозначение [ p1 – A] ^–1 = Ф(p), что является преобразованием Лапласа функции Ф(t). Тогда матричная передаточная функция может быть представлена в виде

W(p) = С Ф(p) B.

Если нет внешних воздействий, т.е U(t) = 0, то общим решением однородного уравнения является

х_СВ (t) = ехр (Аt) x (0).

Следовательно, матричная эхспоненциальная функция ехр (Аt) описывает свободные колебания системы, поэтому её называют ещё переходной матрицей состояния.

Если U(t) не зависит от времени, то

X(t) = exp (At) X(0) + [exp (At) – 1] A ^–1 B U.

Если матрицы А и В не зависят от времени, вычисление переходной матрицы можно выполнить одним из трёх методов.

Переходную матрицу eхр (Аt) можно представить в виде степенного ряда Тейлора

Ф(t) = 1 + At + A²t²/2! + A³t³/3! + ...

Ограничившись конечным числом членов ряда и произведя их суммирование, найдем приближённое выражение для Ф (t).

Рассмотрим второй метод. Хорошо известно, что для стационарных систем уравнение

D (p) = 0,

где р – скалярная комплексная переменная – является характеристическим уравнением системы, а корни этого уравнения р _I – полюсы системы. Если система описывается уравнением состояния

x = А х + В u ,

то характеристическое уравнение можно записать в следующей детерминан- тной форме

(p 1 - A) = 0

или (*)

(А – р 1) = 0.

Корни этого уравнения и, следовательно, полюсы системы известны в матричном исчислении как собственные значения или как характеристические числа матрицы А. Уравнение (*) получается при нахождении такого вектора z в пространстве состояний, который преобразуется матрицей Аc точностью до постоянного множителя сам в себя. Другими словами

Az= pz.

В методе переменных состояния необходимоcть определять корни характеристического уравнения путём вычисления собственных значений матрицы А. является главной трудностью аналитического метода.

Третий метод основан на теореме Сильвестра, согласно которой

е^Аt = exp(λ_it) F(λ_i),

где

F(λ_i) = (A - λ_j1)/(λ_i - λ_j).

При этом предполагается, что матрица А квадратная с n различными собственными значениями λ_i, которые совпадают с корнями р_i характеристистического уравнения цепи

det (A - λ1) = 0.