Фазовые траектории линейных звеньев первого – второго порядков

Дифференциальное уравнение звена первого порядка для свободной составляющей

Т dx/dt + x = 0.

Если dx/dt = y, то Т у = - х и у = - (1/Т) х - уравнение прямой, проходящей через начало координат

Дифференциальное уравнение звена второго порядка

T² d²x/dt² + 2Tξ dx/dt + x = 0

приведём к следующему виду

d²x/dt² + 2h dx/dt + ω² x = 0,

где ω = 1/T; 2ξω = h.

Уравнения первого порядка для этого звена запишутся так:

dx/dt = y; dy/dt = - ω² x – 2hy.

Исключив t из этих двух уравнений, получаем уравнение фазовой траектории

dy/dx = - (ω²x + 2hy) / y.

Вид фазовых траекторий существенно зависит от корней характеристического уравнения

р² + 2h р + ω² = 0;

р_{1, 2} = - h ± sqrt (h² – ω²).

Если корни чисто мнимые, то звено совершает незатухающие колебания

x = A sin (ωt + φ)

с частотой ω, поэтому её и называют частотой собственных колебаний. Постоянные А и φ можно узнать из начальных условий. Дифференцируя это уравнение, находим

dx /dt = y = Aω cos (ωt + φ).

Уравнение фазовой траектории в этом случае

x ²/A² + y ² / (Aω)² = 1.

Это уравнение эллипса с полуосями А и ωА . При различных значениях А получаем семейство подобных эллипсов. Изображающая точка, попав однажды на какой–нибудь из эллипсов, будет двигаться по нему вокруг точки равновесия х = у = 0, которая называется центром. Подобные точки характерны для консервативных систем, в которых нет ни притока, ни оттока энергии. Примером служит идеальный колебательный контур LC. При ω² = 1 эллипсы превращаются в окружности.

Если корни комплексно сопряжённые с отрицательной действительной частью, то уравнение

dy/dx = - (ω²x + 2hy) / y

является уравнением логарифмической сходящейся спирали При

различных начальных условиях движение будет происходить по различным

спиралям, вложенным в друг друга с точкой равновесия х = у = 0 в виде асимтотической точки, куда сходятся все спирали. Эта точка называется устойчивый фокус (очевидно, фокус устойчив, если h > 0 ). При этом колебания в системе затухают.

Если корни комплексные сопряжённые с положительной действительной частью, то колебания нарастают и фазовая траектория – логарифмическая раскручивающаяся спираль Точка равновесия неустойчива и называется неустойчивый фокус.

В случае, если корни действительные отрицательные разные, переходный процесс имеет вид

x = С₁ exp (p₁t) + C₂ exp (p₂t).

Здесь нет колебательного движения вокруг точки равновесия, и только для некоторой области начальных условий имеются полуколебания, когда у меняет в процессе движения знак. Точка такого типа называется устойчивым узлом.

Если корни действительные положительные, то картина траекторий имеет в общем такой же вид, что и в предыдущем случае. Только направление движения изображающей точки изменяется на обратное – от точки равновесия в бесконечность Такая точка называется неустойчивым узлом.

Если действительные корни различных знаков, то фазовые траектории образуют семейство равносторонних гипербол. Такая точка равновесия называется седлом

Таким образом, изображение процесса на фазовой плоскости обеспечивает достаточную наглядность, даёт возможность проводить анализ и получить следующие данные: переходный процесс, амплитуду и частоту автоколебаний, влияние нелинейностей любого вида и рекомендации по коррекции системы линейными и нелинейными средствами.

Вид особых точек зависит от статической характеристики нелинейного элемента. Если система имеет элемент с зоной нечувствительности и насыщением, то установившемуся состоянию на фазовой плоскости соответствует целая область возможных значений состояний равновесия

Поведение системы может характеризоваться расходящимся, до определённых пределов, процессом. Система неустойчива в малом, амплитуда расходящихся колебаний ограничена. В начале координат на фазовой плоскости находится неустойчивый фокус. Спирали фазовых траектоий расходятся из фокуса и приближаются асимтотически к замкнутому контуру, который называется предельным циклом.

В системе может происходить затухающий процесс до тех пор, пока начальные отклонения не выйдут за пределы некоторой области. Система устойчива в малом, но неустойчива в большом Здесь также имеется изолированная замкнутая траектория- неустойчивый предельный цикл. Если изображающая точка находится внутри его, то она движется к устойчивому фокусу – началу координат. Если вне его – то удаляется по спирали в бесконечность. Система может иметь несколько устойчивых и неустойчивых предельных циклов