Метод гармонической линеаризации

Метод гармонической линеаризации (метод описывающих функций) применим к системам, которые содержат один безинерционный элемент.

Сущность метода состоит в том, что нелинейная система представляется в виде последовательного соединения линейного и нелинейного звеньев с передаточными функциями W_Л (p) и W_H (p).

х _З = 0 m у x

W_H (p) W_Л (р)

_

Линейная часть может включать передаточные функции регулятора и датчика. Будем считать, что х_З равно нулю и на вход нелинейного звена поступает гармонический сигнал

х = m = X_M sin ωt.

Тогда в установившемся режиме сигнал у будет периодическим, но несидуидальным. Такой сигнал можно представить в виде ряда Фурье

_{∞ ∞}

y = А₀ /2 + ∑G_k cos kωt + ∑ B_k sin кωt.

^{k = 1 k = 1}

Коэффициенты ряда Фурье определяются выражениями:

2 _T 2 _T

G_k = ∫y cos kωt dt ; B_k = ∫ y sin kωt dt ;

T ⁰ T ⁰

где Т – период входной синусоиды.

Этот спектр поступает на вход линейной части, где каждая составляющая спектра изменяет свою амплитуду и фазу в соответствии с АФЧХ линейной части.

Если линейная часть системы является фильтром нижних частот, тогда все высшие гармоники будут значительно ослаблены и можно будет считать, что на выходе нелинейного элемента в замкнутой системе имеется только первая гармоника

у = G₁ cos ωt + B₁ sin ωt = C sin (ωt + ψ).

Учитывая, что sin ωt = x / X_M , cos ωt = (dx /dt )/(ωX_M), можно записать, что

y = (B₁/X_M ) x + [ G₁/(ωX_M)] dx/dt .

Преобразуем последнее выражение по Лапласу

Y(p) = [ B₁/X_M + (G₁/ωX_M) p] X(p).

Тогда эквивалентная передаточная функция нелинейного элемента имеет вид

Y(p)

W_ЭH (p) = = B (X_M) + [ G (X_M)/ω] p,

X(p)

где B (X_M) = B₁/X_M , G (X_M) = G₁/X_M . Заменив р на jω, получим комплексный передаточный коэффициент (эквивалентный коэффициент усиления)

W_ЭH (jω) = B(X_M) + j G(X_M),

который называется описывающей функцией и изображается на схемах так, как показано на рис

X_M sin ωt W_H (p) y X_M sin ωt W_ЭН (р) G₁ cos ωt + B₁ sin ωt

В отличии от линейного элемента эквивалентный комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента зависит от амплитуды и частоты входного сигнала. Таким образом, нелинейные безинерционные элементы заменяются эквивалентными линейными элементами, передаточные функции которых определяются из условия возникновения колебательного режима. В режиме гармонических колебаний эквивалентная система находится на границе устойчивости, поэтому амплитуду и частоту автоколебаний находят из этих условий.

Чтобы определить эквивалентный коэффициент усиления нелинейного элемента, необходимо построить график выходного сигнала этого элемента, который формируется при действии входного гармонического сигнала. По найденной таким образом выходной периодической функции находятся коэффициенты при первых гармониках разложения в ряд Фурье