Метод фазовых траекторий

Это графо-аналитический способ исследования динамики нелинейных систем.

Свободное движение нелинейной динамической системы с одной управляемой переменной х (t) можно описать с помощью n дифференциальных уравнений первого порядка. Мгновенное состояние системы и её дальнейшее поведение однозначно определяются значениями всех переменных в момент времени t = t_i. Эти значения можно рассматривать как координаты изображающей точки в фазовом пространстве.

Фазовым пространством называется многомерное пространство, координатами которого являются переменные, характеризующие переходный процесс в системе. В частном случае, это выходная регулируемая переменная и её n-1 производные. Кривая, отображающая решение дифференциального уравнения в фазовом пространстве, называется фазовой траекторией. Конкретной группе начальных условий соответствует одна фазовая траектория. Для всех возможных начальных условий или некоторой совокупности их будет соответствовать семейство фазовых траекторий, которое называется фазовым портретом.

Метод фазовых траекторий целесообразно применять для исследования нелинейных систем второго порядка, фазовое пространство в этом случае есть плоскость.

При изображении процессов на фазовой плоскости уравнение второго порядка целесообразно свести к двум уравнениям первого порядка:

dx/dt = f₁ (x, y);

dy/dt = f₂ (x, y) ,

где f₁ и f₂ – в общем нелинейные функции координат.

Чтобы изобразить переходный процесс на фазовой плоскости, исключим время, для чего второе уравнение разделим на первое:

dy/dx = f₂ (x, y) / f₁ (x, y).

Мы получили нелинейное дифференциальное уравнение, общих методов точного решения которого не существует, и в каждой задаче приходится искать частный метод его решения.

Решением уравнения будет некоторая функция

y = F (x) + c,

графическое изображение, которой на фазовой плоскости и есть фазовая траектория. Множество фазовых траекторий, соответствующее совокупности начальных условий х₀ и y₀ , обладает ценным свойством: если функции f₁ и f₂ одноз-

начны, то каждой точке х и y на плоскости (за исключением ограниченного числа особых точек) соответствует только одно значение производной dy/dx. Это означает, что через каждую точку фазовой плоскости (за исключением особых точек) проходит только одна фазовая траектория и что фазовые траектории не пересекаются друг с другом.

Однозначность фазовых траектрий не имеет места в так называемых особых точках, в которых dx/dt и dy/dt обращаются в ноль (движение системы прекращается), т.е. особые точки представляют собой точки равновесия системы.

Чаще всего за координату у принимают скорость изменения координаты х. Тогда исходная система уравнений принимает вид

dx/dt = y; dy/dt = f(x, y).

Отсюда следует, что х всегда возрастает в верхней полуплоскости (где у > 0), т.е. движение вдоль фазовой траектории при возрастании t происходит направо. В нижней же полуплоскости (где у < 0) координата х убывает, и движение по фазовой траектории происходит справа налево.

Из нелинейного дифференциального уравнения

dy/dx = f(x, y)/y

следует, что при у = 0 величина dy/dx становится бесконечно большой во всей фазовой плоскости, за исключением точек равновесия, где f(x, y) = 0. Это означает, что в точках пересечения фазовых траекторий с осью х касательные к фазовым траекториям перпендикулярны к оси х.