Осындысы нөл болатын екі жақтың ойыны

Ойын теориясында ерекше дамыған әдістердің бірі қосындысы нөл болатын екі жақтың ойыны, яғни ойыншылардың ұтыстарының қосындысы нөлге тең (бір ойыншының ұтысы екінші ойыншының ұтысына тең, әрбір ойыншы өзге ойыншының есебінен ұтады). Бұндай ойындар антогонистік деп аталады.

Әрбір ойыншыға төлем матрицасының барлық элементтері белгілі деп есептелінеді.

стратегиясын таңдайтын болса. Ойыншылардың ұтыстарының қосындысы нөлге тең болатындықтан, B ойыншының төлем матрицасы A ойыншының төлем матрицасын

максималдайтын жолды таңдайды, ал B ойыншысы өз ұтылысын минималдайтын бағананы таңдайды.

Қосындысы нөл болатын екі жақтың ойынының мысалы ретінде шартты әскери «полковник Блотто ойыны» атты ойынды қарастырайық. Екі армия екі халық тұратын пункт үшін соғыс жүргізуде. Полковник Блоттоның армиясы ( A ойыннан) төрт жасақтан, ал қарсыластар армиясы ( A ойыншы) - үшеуден тұрады. Ойын ережесін келтіреік. Қай жақтың армиясы кезкелген пунктке қарсыласынан артық жасақ жіберсе сол пунктті алады және қарсыласын жойып, пунктті алғаны үшін бір ұпай, қарсыласын жойғаны үшін бір ұпай алады. Егер әр пунктте қарсыластардың күштері тең болса, онда ұпай алмайды. Жалпы ұтыс екі пункттегі ұтыстардың қосындысы бойынша анықталады. Қарсыластар қарсы жақтың әрекетін білмей-ақ, өз күштерін дұрыс таратып, максималды ұпай жинау керек. Ойыншылар ең көп ұтысқа ұмтылғандықтан барлық жасақтарын қолданады. Полковник Блоттоның бес

стратегиясы бар: ^{(4, 0); (0, 4); (3, 1); (1, 3); (2, 2)} , ал қарсыласының төрт стратегиясы

(3, 0); (0, 3); (2, 1); (1, 2) _бар.

Әрбір стратегиядағы бірінші сан бірінші пунктке жіберілген жасақтар санын, ал екіншісі – екінші пунктке жіберілген жасақтар санын көрсетеді. 7.1 кестеде төлем матрицасын құрамыз.

Кесте

B
A	3,0	0,3	2,1	1,2 u i
4,0
0,4
3,1		-1
1,3	-1
2,2	-2	-2

A ойыншысы бірінші пунктте-3ұпайға ұтылады.Екінші пунктте A ойыншысы екіжасағын жібереді, ал B жібермейді. Сондықтан A бір ұпайға ұтады. Қорытындысында A ойыншысы 2 ұпайға ұтылады, ал B ойыншысы 2 ұпай ұтады.

Ойынның шешуі. Ойын теориясының есебі ойынның шешуін табу, яғни әрбір ойыншы үшін оның оптималды стратегиясы мен ойын бағасын табу.

Оптималды стратегия дегеніміз ойын бірнеше рет қайталанғанда қарсыласынан тәуелсіз, берілген ойыншы максималды орташа ұтыспен қамтамасыз ету. Ойынның бағасы дегеніміз ойыншылардың оптималды стратегиясына сәйкес ұтысы (ұтылысы).

Стратегияны таңдағанда әртүрлі принциптерге сүйенуге болады. Ойын теориясын өзінен кем көрмесе, онда ойыншылардың тәртібін ең жақсы деп есептеуге болады. Осыған сәйкес ең тамаша стратегия ретінле қарсыласының әректінен тәуелсіз, ең жоғары ұтысты қаматмасыз ететін стратегияны алуға болады.

минимум B ойыншысының барлық стратегиясы бойынша (төлем матрицасының ⁱ нөмірлі жолы бойынша). A ойыншысы өзінің әрбір стратегиясы бойынша кепілді ұтыстарды таңдағандықтан, өзінің барлық стратегиясының арасынан өзіне максималды кепілді ұтысты қамтамасыз ететін стратегияны таңдап алады

n ₁ = max min a_{i j}

i j

Жолдардың минимумдарының максималды мәніне сәйкес стратегия максимин

стратегиясы деп, ал ⁿ¹ шамасы – ойынның төменгі бағасы немес максимин деп аталады.

B ойыншысы да өзінің барлық стратегиясының ішінен өзіне кепілді минималдыұтысты қамтамасыз ететін стратегияны таңдайды

Бағаналардың максимумдарының мәніне сәйкес минималды стратегия, минимакс

стратегиясы деп, ал ^{n 2} шамасы – ойынның жоғарғы бағасы немесе минимакс деп аталады.

Егер A ойыншысы максимин стратегиясын ұстаса, онда оның ұтысы максимин мәнінен кем болмайды, яғни

a_{i j} ³max min a_{i j}

i j

Егер B ойыншысы минимакс стратегиясын ұстаса, онда оның ұтылысы минимакс мәнінен артық болмайды, яғни

a_{i j} ³min max a_{i j}

j i

Жалпы жағдайда ойынның төменгі және жоғарғы бағасының ара қатынасы теңсіздікпен көрсетіледі

n₁ £n ₂

^{n1 =n 2} болатын ойындар да кездеседі.

A және B ойыншыларының бұл мәндерге сәйкес стратегиясы оптималды деп,албұл стратегияға сәйкес төлем матрицасының элементі шешу нүктесі деп аталады. Төлем матрицасының шешуші нүктесіне сәйкес элемент ойын бағасы деп есептеледі. Оны ⁿ деп белгілейік. Сонда, егер шешущі нүктесі болатын болса

n =n₁=n _2.

Егер ^{n > 0} , A ойыншысы ұтады. Егер ^{n < 0} , B ойыншысы ұтады. Егер ^{n = 0} болса, онда екі ойыншыға бірдей, тең деп аталады.

Мынадай мысал келтірейік. Екі ойыншының әрқайсысында төрт стратегиядан бар және бір-бірінің қандай стратегияны қолданылатынын білмейді. Мәліметтер 7.2 кестеде берілген.

Кесте

B j

Ai

B

B

B

B

min ai j

j

A1

A2

A3

A4

max ai j

i

Бірінші төлем матрицасының әрбір жолы бойынша минимумдарын (

min ai j

) соңғы

j

бағанаға, ал бағана бойынша максимумдарын ( ^{maxi ai j} ) кестенің соңғы жолына жазамыз.

Ары қарай ойынның төменгі және жоғарғы бағасы табылып соңғы жол мен соңғы

бағананың қиылысқан жеріне жазылады. Берілген мысалда ^{n1 =n 2 = 7} . Төлем матрицасының шешуші нүктесі бар, ойыншылар үшін оптималды таза стратегиялар

^A2 және ^B2 болып табылады. Ойын бағасы ^{n = 7} . Бұл дегеніміз, егер A ойыншысы өзінің ^A2 оптималды стратегиясын ұстаса, 7-ден кем ұтпайды, бірақ егер ^B

ойыншысы ^B2 стратегиясынан ауытқыса онда ол көп ұтуы да мүмкін. Осы сияқты B ойыншысы да өзінің оптималды ^B2 стратегиясын ұстаса, онда 7 артық ұтылмайды,

бірақ, егер A ^A1 , ^A2 , ^A3 стратегияларының бірін таңдаса, онда ол 7-ден кем ұтылуы мүмкін.

Шешуші нүктесі бар ойындар таза стратегиямен шешіледі және шешілу процесі күрделі емес. Ал кейбір төлем матрицасында шешуші нүкте біреуден артық болуы да мүмкін.

Егер төлем матрицасының шешуші нүктесі болмаса, онда ол аралас стратегиямен шешіледі.