Примеры решения задач. Пример 1. Кинематическое уравнение материальной точки имеет вид x = A + Bt + Ct3 (A = 2 м, В = 3 м/с

Пример 1. Кинематическое уравнение материальной точки имеет вид x = A + Bt + Ct³ (A = 2 м, В = 3 м/с, С = –0,5 м/с³). Найти координату х₂, скорость u₂ и ускорение а₂ в момент времени t = 2c. Каковы средние значения скорости и ускорения за первые 2с движения?

Решение. Координату х₂ найдем, подставляя в уравнение движения числовые значения коэффициентов и времени t:

х₂ = (2+3×2 – 0,5×8) = 4 м. (1)

Мгновенная скорость равна производной от уравнения движения:

u = , u₂ = -3 м/с. (2)

Ускорение точки определим как производную от уравнения для скорости:

а = . (3)

Средняя скорость находится так: <u>=Dx/Dt, где Dх – разность координат для моментов времени:

t₁ = 0 и t₂ = 2c, Dx = x₂-x₁, Dt = t₂-t₁ = 2c. (4)

Координата х₂ – известна, координата х₁ для момента времени t₁ = 0 х₁ = 2 м.

Вычисляем: <u> = 2 м/с.

Среднее ускорение определим как:

<a> = ; Du = u₂ – u₁, Dt = t₂-t₁. (5)

Скорость u₂ для момента времени t₂ = 2 c уже вычислена, скорость для момента времени t₁=0 u₁=3 м/с. Отсюда <a>= –3 м/с².

Пример 2. Тело брошено со скоростью u₀=20 м/с под углом a = 30º к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти скорость тела, а также его нормальное и тангенциальное ускорение через t = 1.5 c после начала движения. На какое расстояние l переместится за это время тело по горизонтали и на какой окажется высоте h?

Решение. Если тело движется с постоянным ускорением а = g, его скорость и перемещение определяются векторными уравнениями:

. (1)

Мы не знаем в какой точке траектории будет тело через 1,5 с после начала движения – на восходящей или нисходящей ветвях параболы. Предположим, что оно находится в точке М (рис. 1). Введем координатные оси, направленные по горизонтали (ОХ) и вертикали (ОY) и совместим начало координат с положением тела в начальный момент времени. Тогда, подставив в уравнения

u_x=u_ox+a_xt, u_y=u_oy+a_yt,

Dx= u_oxt+a_xt²/2, Dy= u_oyt+a_yt²/2 (2)

значения а_х=0, а_у = -g, u_ох = u_ocosa, u_ох = u_osina, Dx = x, Dy = y и учитывая, что проекция скорости тела в точке М на ось ОY направлена вниз, получаем:

u_x=u_ocosa;

x=u_ocosa×t;

-u_y=u_osina-gt;

y=u_osina×t – . (3)

Искомые величины l и h равны координатам х, y точки М в момент t=1,5с.

l = x = u_ocosa×t = 20,0×0,87×1,5 м = 26 м. (4)

h = y = u_osina – gt²/2 = [20,0×0,5×1,5-9,8×(1,5)²/2] м = 4,0 м. (5)

Скорость u в точке М найдем через ее проекции:

(6)

Для определения нормального и тангенциального ускорения учтем, что полное ускорение тела, движущегося в поле земного тяготения, есть не что иное как ускорение g силы тяжести. Разложив вектор g на составляющие по нормальному и касательному направлению к траектории в точке М – получим (рис. 1):

а_n = g×sinb = g×( ), (7)

а_r = g×cosb = g×( ), (8)

где b – угол между вертикалью и касательной к траектории в точке М.

Подставив вместо величин u_x , u_y, u их значения, получим:

, (9)

. (10)

Пример 3. Молотком, масса которого m₁ = 1.0 кг, забивают в стену гвоздь массой m₂ = 75 г. Определить К.П.Д. (h) удара молотка.

Решение.Коэффициент полезного действия (К.П.Д.) есть отношение полезной энергии к затраченной:

h = . (1)

Полезной будем считать кинематическую энергию молотка и гвоздя после их взаимодействия W_полезн = , где u – совместная скорость молотка и гвоздя (взаимодействие считаем неупругим). Затраченной энергией является кинетическая энергия молотка до удара W_затр = , где u – скорость молотка до удара. Систему молоток-гвоздь можно приближенно считать замкнутой и применить закон сохранения импульса:

, (2)

где m₁u – импульс молотка до удара; (m₁+m₂)u – импульс системы молоток-гвоздь после удара.

Из выражения (2) находим скорость u: u = .

Подставляя в (1) выражения для энергии, определяем h:

h= = 0.93.

Пример 4. Пружина жесткостью k = 500 Н/м сжата некоторой силой F. При дополнительном сжатии еще на Dl = 6 см совершена работа А = 12 Дж. Определить величину силы F первоначального сжатия пружины.

Решение.Согласно закону Гука величина упругой силы F связана с абсолютной деформацией |х| по модулю:

|F| = k×|x|, (1)

где k – коэффициент жесткости.

Работа упругой силы при сжатии от l до l + Dl

A = (2)

Теперь, пользуясь соотношением (1) можно записать

|F| = k×l,(3)

где l – первоначальное сжатие пружины.

Значение l находится из выражения (2):

l = . (4)

Отсюда

F = k× . (5)

Произведя вычисления, получим: F = 185 Н.

Пример 5. Круглая платформа радиуса R = 1.0 м, момент инерции которой J = 130 кг×м², вращается по инерции вокруг вертикальной оси, делая n₁ = 10 об/сек. На краю платформы стоит человек, масса которого m = 70 кг. Сколько оборотов в секунду n₂ будет совершать платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

Решение.Согласно условиям задачи платформа с человеком вращается по инерции, т.е. результирующий момент всех внешних сил, приложенных к вращающейся системе, равен нулю. Следовательно, для системы платформа-человек выполняется закон сохранения импульса:

L₁ = L₂. (1)

Подсчитаем начальный момент импульса L₁ (человек стоит на краю платформы) и конечное его значение L₂ (человек стоит в центре платформы).

L₁ = J₁×w₁ = (J + m×R²) ×2p×n₁, (2)

где m×R² – момент инерции человека, J₁ = J + m×R² – начальный момент инерции системы, w₁ – ее начальная угловая скорость.

L₂ = J₂×w₂ = J×2p×n₂, (3)

где J₂ и w₂ – конечные момент инерции и угловая скорость системы. Здесь учтено, что момент инерции человека, стоящего в центре платформы, равен 0.

Решая систему уравнений (1) – (3), получаем:

n₂ = n₁(J + m×R²)/J,

n₂ = 1.5 об/с.

Пример 6. Физический маятник представляет собой стержень длиной
l = 1 м и массой 3m с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром d = l и массой m. Горизонтальная ось OZ проходит через середину стержня перпендикулярно ему. Определить период Т колебаний такого маятника (рис. 2).

Решение.Период колебаний физического маятника определяется по формуле:

, (1)

где J – момент инерции маятника относительно оси колебаний; М – его масса; l_c - расстояние от центра масс маятника до оси колебаний.

Момент инерции маятника равен сумме моментов инерции стержня J₁ и обруча J₂:

J = J₁ + J₂. (2)

J₁ определяется по формуле :

J₁ = m₁×l². (3)

В данном случае m₁ = 3m и J₁ = m×l². (4)

Момент инерции обруча найдем, воспользовавшись теоремой Штейнера J = J₀ + m₂a² (где a – расстояние между осями; J₀ – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс параллельно заданной оси).

Момент инерции обруча равен:

J₂ = m₂×(l/4)²+m₂×(3×l/4)² = 5/8m₂×l²; J₂ = 5/8m×l², (m₂=m). (5)

Подставив выражения (4) и (5) в формулу (2), найдем момент инерции маятника относительно оси вращения:

J = 1/4×m×l² +5/8×m×l² = 7/8×m×l². (6)

Расстояние l_c от оси маятника до его центра масс равно:

(7)

Подставив в формулу (1) выражения J, l_c и массы маятника (М = 3m + m = 4m), найдем период его колебаний:

(с).

Пример 7. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выраженных уравнениями х = 2sin(pt); y = –cos(pt) (смещения в сантиметрах). Найти уравнение траектории точки и построить ее на чертеже. Показать направление движения точки. Определить скорость и ускорение точки в момент t = 0.5 с.

Решение.Так как циклические частоты слагаемых колебаний одинаковы, траекторией точки будет эллипс. Исключив время t из двух заданных уравнений, получим:

. (1)

Это каноническое уравнение эллипса с полуосями а = 2 см и b = 1 см (рис. 3). Чтобы определить направление движения точки, учтем, что в момент времени t = 0 имеем х = 0, y = –1 см, и, следовательно, точка находится в положении А. При возрастании t увеличивается также x, значит, точка движется по траектории против часовой стрелки. Скорость точки u при ее движении по эллипсу равна векторной сумме скоростей u_x и u_y в слагаемых колебаниях. Поскольку эти колебания взаимно перпендикулярны, то . (2)

Аналогично определяем искомое ускорение: , (3)

где а_х и а_у – ускорения точки в слагаемых колебаниях.

Скорость и ускорение определяются по формулам:

u_x = 2p×cospt, u_y = p×sinpt, (4)

а_x = –2p²×sinpt, a_y = p²×cospt.

Подставив эти выражения в формулы (2) и (3), найдем:

,

и, взяв t = 0.5 с, получим:

u=3.14 см/с;

а=19.7 см/с.

Таблица выбора заданий по физике по темам: "Механика", "Молекулярная физика и термодинамика" для студентов заочной формы обучения