Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Примеры решения задач. Пример 1. Кинематическое уравнение материальной точки имеет вид x = A + Bt + Ct3 (A = 2 м, В = 3 м/с




Пример 1. Кинематическое уравнение материальной точки имеет вид x = A + Bt + Ct3 (A = 2 м, В = 3 м/с, С = –0,5 м/с3). Найти координату х2, скорость u2 и ускорение а2 в момент времени t = 2c. Каковы средние значения скорости и ускорения за первые 2с движения?

Решение. Координату х2 найдем, подставляя в уравнение движения числовые значения коэффициентов и времени t:

х2 = (2+3×2 – 0,5×8) = 4 м. (1)

Мгновенная скорость равна производной от уравнения движения:

u = , u2 = -3 м/с. (2)

Ускорение точки определим как производную от уравнения для скорости:

а = . (3)

Средняя скорость находится так: <u>=Dx/Dt, где Dх – разность координат для моментов времени:

t1 = 0 и t2 = 2c, Dx = x2-x1, Dt = t2-t1 = 2c. (4)

Координата х2 – известна, координата х1 для момента времени t1 = 0 х1 = 2 м.

Вычисляем: <u> = 2 м/с.

Среднее ускорение определим как:

<a> = ; Du = u2 – u1, Dt = t2-t1. (5)

Скорость u2 для момента времени t2 = 2 c уже вычислена, скорость для момента времени t1=0 u1=3 м/с. Отсюда <a>= –3 м/с2.

Пример 2. Тело брошено со скоростью u0=20 м/с под углом a = 30º к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти скорость тела, а также его нормальное и тангенциальное ускорение через t = 1.5 c после начала движения. На какое расстояние l переместится за это время тело по горизонтали и на какой окажется высоте h?

Решение. Если тело движется с постоянным ускорением а = g, его скорость и перемещение определяются векторными уравнениями:

. (1)

Мы не знаем в какой точке траектории будет тело через 1,5 с после начала движения – на восходящей или нисходящей ветвях параболы. Предположим, что оно находится в точке М (рис. 1). Введем координатные оси, направленные по горизонтали (ОХ) и вертикали (ОY) и совместим начало координат с положением тела в начальный момент времени. Тогда, подставив в уравнения

ux=uox+axt, uy=uoy+ayt,

Dx= uoxt+axt2/2, Dy= uoyt+ayt2/2 (2)

  Рис. 1

значения ах=0, ау = -g, uох = uocosa, uох = uosina, Dx = x, Dy = y и учитывая, что проекция скорости тела в точке М на ось ОY направлена вниз, получаем:

ux=uocosa;

x=uocosa×t;

-uy=uosina-gt;

y=uosina×t – . (3)

Искомые величины l и h равны координатам х, y точки М в момент t=1,5с.

l = x = uocosa×t = 20,0×0,87×1,5 м = 26 м. (4)

h = y = uosina – gt2/2 = [20,0×0,5×1,5-9,8×(1,5)2/2] м = 4,0 м. (5)

Скорость u в точке М найдем через ее проекции:

(6)

Для определения нормального и тангенциального ускорения учтем, что полное ускорение тела, движущегося в поле земного тяготения, есть не что иное как ускорение g силы тяжести. Разложив вектор g на составляющие по нормальному и касательному направлению к траектории в точке М – получим (рис. 1):

аn = g×sinb = g×( ), (7)

аr = g×cosb = g×( ), (8)

где b – угол между вертикалью и касательной к траектории в точке М.

Подставив вместо величин ux , uy, u их значения, получим:

, (9)

. (10)

Пример 3. Молотком, масса которого m1 = 1.0 кг, забивают в стену гвоздь массой m2 = 75 г. Определить К.П.Д. (h) удара молотка.

Решение.Коэффициент полезного действия (К.П.Д.) есть отношение полезной энергии к затраченной:

h = . (1)

Полезной будем считать кинематическую энергию молотка и гвоздя после их взаимодействия Wполезн = , где u – совместная скорость молотка и гвоздя (взаимодействие считаем неупругим). Затраченной энергией является кинетическая энергия молотка до удара Wзатр = , где u – скорость молотка до удара. Систему молоток-гвоздь можно приближенно считать замкнутой и применить закон сохранения импульса:

, (2)

где m1u – импульс молотка до удара; (m1+m2)u – импульс системы молоток-гвоздь после удара.

Из выражения (2) находим скорость u: u = .

Подставляя в (1) выражения для энергии, определяем h:

h= = 0.93.

Пример 4. Пружина жесткостью k = 500 Н/м сжата некоторой силой F. При дополнительном сжатии еще на Dl = 6 см совершена работа А = 12 Дж. Определить величину силы F первоначального сжатия пружины.

Решение.Согласно закону Гука величина упругой силы F связана с абсолютной деформацией |х| по модулю:

|F| = k×|x|, (1)

где k – коэффициент жесткости.

Работа упругой силы при сжатии от l до l + Dl

A = (2)

Теперь, пользуясь соотношением (1) можно записать

|F| = k×l,(3)

где l – первоначальное сжатие пружины.

Значение l находится из выражения (2):

l = . (4)

Отсюда

F = k× . (5)

Произведя вычисления, получим: F = 185 Н.

Пример 5. Круглая платформа радиуса R = 1.0 м, момент инерции которой J = 130 кг×м2, вращается по инерции вокруг вертикальной оси, делая n1 = 10 об/сек. На краю платформы стоит человек, масса которого m = 70 кг. Сколько оборотов в секунду n2 будет совершать платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

Решение.Согласно условиям задачи платформа с человеком вращается по инерции, т.е. результирующий момент всех внешних сил, приложенных к вращающейся системе, равен нулю. Следовательно, для системы платформа-человек выполняется закон сохранения импульса:

L1 = L2. (1)

Подсчитаем начальный момент импульса L1 (человек стоит на краю платформы) и конечное его значение L2 (человек стоит в центре платформы).

L1 = J1×w1 = (J + m×R2) ×2p×n1, (2)

где m×R2 – момент инерции человека, J1 = J + m×R2 – начальный момент инерции системы, w1 – ее начальная угловая скорость.

L2 = J2×w2 = J×2p×n2, (3)

где J2 и w2 – конечные момент инерции и угловая скорость системы. Здесь учтено, что момент инерции человека, стоящего в центре платформы, равен 0.

Решая систему уравнений (1) – (3), получаем:

n2 = n1(J + m×R2)/J,

n2 = 1.5 об/с.

Пример 6. Физический маятник представляет собой стержень длиной
l = 1 м и массой 3m с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром d = l и массой m. Горизонтальная ось OZ проходит через середину стержня перпендикулярно ему. Определить период Т колебаний такого маятника (рис. 2).

Решение.Период колебаний физического маятника определяется по формуле:

, (1)

  Рис. 2

где J – момент инерции маятника относительно оси колебаний; М – его масса; lc - расстояние от центра масс маятника до оси колебаний.

Момент инерции маятника равен сумме моментов инерции стержня J1 и обруча J2:

J = J1 + J2. (2)

J1 определяется по формуле :

J1 = m1×l2. (3)

В данном случае m1 = 3m и J1 = l2. (4)

Момент инерции обруча найдем, воспользовавшись теоремой Штейнера J = J0 + m2a2 (где a – расстояние между осями; J0 – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс параллельно заданной оси).

Момент инерции обруча равен:

J2 = m2×(l/4)2+m2×(3×l/4)2 = 5/8m2×l2; J2 = 5/8m×l2, (m2=m). (5)

Подставив выражения (4) и (5) в формулу (2), найдем момент инерции маятника относительно оси вращения:

J = 1/4×m×l2 +5/8×m×l2 = 7/8×m×l2. (6)

Расстояние lc от оси маятника до его центра масс равно:

(7)

Подставив в формулу (1) выражения J, lc и массы маятника (М = 3m + m = 4m), найдем период его колебаний:

(с).

Пример 7. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выраженных уравнениями х = 2sin(pt); y = –cos(pt) (смещения в сантиметрах). Найти уравнение траектории точки и построить ее на чертеже. Показать направление движения точки. Определить скорость и ускорение точки в момент t = 0.5 с.

  Рис. 3

Решение.Так как циклические частоты слагаемых колебаний одинаковы, траекторией точки будет эллипс. Исключив время t из двух заданных уравнений, получим:

. (1)

Это каноническое уравнение эллипса с полуосями а = 2 см и b = 1 см (рис. 3). Чтобы определить направление движения точки, учтем, что в момент времени t = 0 имеем х = 0, y = –1 см, и, следовательно, точка находится в положении А. При возрастании t увеличивается также x, значит, точка движется по траектории против часовой стрелки. Скорость точки u при ее движении по эллипсу равна векторной сумме скоростей ux и uy в слагаемых колебаниях. Поскольку эти колебания взаимно перпендикулярны, то . (2)

Аналогично определяем искомое ускорение: , (3)

где ах и ау – ускорения точки в слагаемых колебаниях.

Скорость и ускорение определяются по формулам:

ux = 2p×cospt, uy = p×sinpt, (4)

аx = –2p2×sinpt, ay = p2×cospt.

Подставив эти выражения в формулы (2) и (3), найдем:

,

и, взяв t = 0.5 с, получим:

u=3.14 см/с;

а=19.7 см/с.

 

 

варианты Номера задач по темам: "Механика", "Молекулярная физика и термодинамика"

Таблица выбора заданий по физике по темам: "Механика", "Молекулярная физика и термодинамика" для студентов заочной формы обучения

 


Поделиться:

Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 71; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты