Примеры решения задач.

Пример 1. Определить число N молекул, содержащихся в объеме V = 1 мм³ воды и массу m₁ молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом, найти диаметр d молекул.

Решение.Число N молекул, содержащихся в некоторой системе массой m, равно:

N = nN_A,(1)

где N_A – число Авогадро, n – количество вещества.

Так как

,

где m – молекулярная масса, то

. (2)

Выразив в этой формуле массу через плотность и объем, получим:

(3)

(m = 18×10^-3 кг/моль, r = 10³ кг/ м³).

молекул = 3.34×10¹⁹ молекул.

Массу одной молекулы m₁ можно найти по формуле

. (4)

Подставив в (4) значения m и N_A, найдем массу 1-ой молекулы:

кг.

Если молекулы плотно прилегают друг к другу, то можно считать, что на каждую молекулу приходится объем (кубическая ячейка) V₁ = d³, где d – диаметр молекулы.

Отсюда (5)

Объем V₁ найдем, разделив молярный объем V_m на число молекул в моле, т.е. на N_A:

. (6)

Подставив выражение (6) в (3), имеем:

,

где , тогда

(7).

Подставив численные данные и произведя вычисления, получим:

М.

Пример 2.В сосуде при температуре 100°С и давлении 4×10⁵ Па находится 2м³ смеси кислорода О₂ и сернистого газа SO₂. Определить массу кислорода, если масса сернистого газа 8 кг.

Решение.По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. Вычислим парциальное давление кислорода P₁ и сернистого газа P₂ из уравнения Менделеева - Клапейрона:

(1)

(2)

По закону Дальтона

(3)

откуда

(4)

Подставив в (4) числовые значения (m₁ = 32×10^-3 кг/моль, m₂ = 64×10^‑3 кг/моль, R = 8.31 Дж/моль×K), получим: m₁ = 4.3 кг.

Пример 3. В колбе вместительностью V = 0.5 л находится кислород при нормальных условиях. Определить среднюю энергию <W_п> поступательного движения всех молекул, находящихся в колбе.

Решение. Средняя энергия <W_п> поступательного движения всех молекул может быть выражена соотношением:

<W_п> = <E_п>×N, (1)

где <E_п> – средняя энергия поступательного движения одной молекулы, N – число всех молекул, содержащихся в колбе.

Как известно

(2)

Число молекул в колбе найдем по формуле:

N = n×N_A, (3)

где n – количество вещества кислорода, N_A – постоянная Авогадро.

Количество вещества n определим из соображений, что при нормальных условиях молярный объем V_m равен 22.4×10^-3 м³/моль. Так как по условию задачи кислород в колбе находится при нормальных условиях, то количество вещества кислорода в колбе выражается соотношением:

n = V/V_m. (4)

Подставив выражение (4) в (3), получим:

(5)

С учетом (2) и (5) выражение (1) энергии поступательного движения молекул примет вид:

(6)

Подставив численные данные и произведя вычисления, получим:

<W_п> = 75.9 Дж.

Пример 4. Найти удельные теплоемкости с_р и с_v смеси газов, состоящей из m₁ = 10 г гелия и m₂ = 4 г водорода.

Решение. Теплота, необходимая для изохорического нагревания смеси на DT

Q = m₁c_v1DT + m₂c_v2DT,(1)

где c_v1 и c_v2 – удельные теплоемкости при постоянном объеме гелия и водорода соответственно.

Величину Q можно записать иначе

Q = c_v (m₁+ m₂) ×DT, (2)

где с_v – удельная теплоемкость смеси при постоянном объеме.

Приравняв правые части уравнений (1) и (2) и разделив полученное равенство на DT, получим:

m₁c_v1 + m₂c_v2 = c_v (m₁+ m₂),

откуда

(3)

Путем аналогичных рассуждений получим формулу для удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

(4)

Подставив в (3) и (4) выражения для удельных теплоемкостей

получим окончательно:

; (5)

Подставив в (5) числовые значения: i₁ = 3, i₂ = 5, m₁ = 4×10^-3 кг/моль, m₂ = 2×10^-3 кг/моль, получим: с_v = 5.2×10³ Дж/кг×К; с_P = 7.9×10³ Дж/кг×К.

Пример 5. Кислород занимает объем V₁ = 1 м³ и находится под давлением P₁ = 200 кПа. Газ нагрели сначала при постоянном давлении до объема V₂ = 3 м³, а затем при постоянном объеме до давления P₂ = 500 кПа. Построить график процесса и найти:

1) изменение DU внутренней энергии;

2) совершенную газом работу A;

3) количество теплоты Q, переданное газу.

Решение.Построим график процесса (рис. 4).

На графике точками 1, 2, 3 обозначены состояния газа, характеризуемые параметрами: (P₁V₁T₁), (P₁V₂T₂), (P₂ V₂T₃).

1. Изменение внутренней энергии газа при переходе его из состояния 1 в состояние 3 выражается формулой:

DU = c_vmDT, (1)

Рис. 4

где c_v – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме, m – масса газа, DТ – разность температур, соответствующих конечному (3) и начальному (1) состояниям, т.е.

DT = T₃ – T₁. (2)

Температуры T₁ и T₃ выразим из уравнения Менделеева-Клапейрона

(PV= RT):

T₁ = ; (3)

. (4)

С учетом этого равенство (1) перепишем в виде:

(для кислорода i=5), (5)

DU = 3.25 мДж.

2. Полная работа, совершенная газом, равна A = A₁ + A₂, где A₁ – работа на участке 1-2; A₂ – работа на участке 2-3. На участке 1-2 давление постоянно (Р = const) и работа равна:

. (6)

На участке 2-3 объем газа не изменяется и, следовательно, работа газа на этом участке равно нулю (A₂ = 0), т.е.

A = A₁ = P₁(V₂ – V₁) = 0.4 мДж.

3. Согласно первому началу термодинамики количество теплоты Q, переданное газу, равно сумме работы А, совершенной газом, и изменения внутренней энергии DU:

Q = A + DU = 3.65 мДж.

Пример 6. Кислород массой 200 г нагревают от температуры Т₁ = 300К до Т₂ = 400К. Найти изменение энтропии, считая кислород идеальным газом.

Рис. 5

Решение. Найти изменение энтропии можно, рассмотрев произвольный обратимый процесс, в результате которого систему можно перевести из состояния 1 в состояние 2. На рис. 5 показаны два таких возможных процесса: 1‑2 изобарное расширение; 1-3 изотермическое расширение с последующим изохорным нагреванием 3-2.

Для процесса 1-2.

, (1)

где .

Для процесса 1-3-2

, (2)

где ; .

Найдем изменение энтропии, рассматривая изобарный процесс 1-2. При этом молярная теплоемкость

, (3)

тогда

. (4)

Так как газ двухатомный, то i = 5,

S₂ – S₁ = 52 Дж/К.

Легко проверить, что результат не изменится и при переходе 1-3-2.

Подставляя выражения для dQ_T и dQ_V в (2) и учитывая, что при изотермическом процессе , имеем:

(5)

(здесь учли, что T₃ = T₁).

Так как , а также с учетом того, что V₂ = V₃ и получим:

. (6)

Таким образом, формулы (4) и (6) совпадают.

.