Контрольная работа № 1.

МЕХАНИКА

Задачи

101. Точка обращается по окружности радиусом R=1.2 м. Уравнение движения точки: j = Аt + Bt², где А = 0.5 рад/с, В = 0.2 рад/с³. Определить тангенциальное а_t , нормальное а_n и полное а ускорения точки в момент времени t = 4 с.

102. Определить скорость u и полное ускорение а точки в момент времени t = 2 с, если она движется по окружности радиусом R = 1 м согласно уравнению x = Аt + Bt³, где А = 8 м/с, В = –1м/с³, x – криволинейная координата, отсчитанная от некоторой точки, принятой за начальную, вдоль окружности.

103. По прямой линии движутся две материальные точки согласно уравнениям: x₁ = A₁ + B₁t + C₁t² и x₂ = A₂ + B₂t + C₂t², где А₁ = 10 м, А₂ = 2 м, В₁ = В₂ =2 м/с, С₁ = -4 м/с²; С₂ = 0,5 м/с². В какой момент времени t скорости этих точек будут одинаковы? Найти ускорения а₁ и а₂ этих точек в момент времени t = 3 с.

104. Определить полное ускорение а в момент времени t = 3 с точки, находящейся на ободе колеса радиусом R = 0.5 м, вращающегося согласно уравнению j = Аt + Bt³, где А = 2 рад/с; В = 0.2 рад/с³.

105. Точка движется по окружности радиусом R = 8 м. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки а_n = 4 м/с², вектор полного ускорения а составляет в этот момент с вектором нормального ускорения а_n угол a = 60°. Найти скорость u и тангенциальное ускорение а_t точки в этот момент времени.

106. Точка движется по прямой согласно уравнению: х = Аt + Bt³, где А=6 м/с, В=-0,125 м/с³. Определить среднюю путевую скорость <u> точки в интервале времени от t₁ = 2 с до t₂ = 6 с.

107. Материальная точка движется прямолинейно. Уравнение движения имеет вид: х = Аt + Bt³, где А = 3 м/с, В = 0.06 м/с³. Найти скорость u и ускорение а точки в моменты времени t₁ = 0 и t₂ = 3 с. Каковы средние значения скорости <u_x> и ускорения <a_x> за первые 3 с движения?

108. Диск радиусом R = 0.2 м вращается согласно уравнению:

j = А + Вt + Сt³, где А = 3 рад, В = –1рад/с, С = 0.1 рад/с³.

Определить тангенциальное ускорение а_t, нормальное а_n и полное а ускорение точек на окружности диска для момента времени t = 10 с.

109. Камень брошен горизонтально со скоростью u = 15 м/с. Найти нормальное а_n и тангенциальное а_t ускорения камня через время t = 1 с после начала движения.

110. Камень брошен горизонтально со скоростью u = 10 м/с. Найти радиус кривизны R траектории камня через время t = 3 с после начала движения.

111. На тележке свободно движущейся по горизонтальному пути со скоростью 3 м/с, находится человек. Человек прыгает в сторону противоположную направлению движения тележки. После прыжка скорость тележки изменилась и стала равной 4 м/с. Определить горизонтальную составляющую скорости человека при прыжке относительно тележки. Масса тележки 210 кг. Масса человека 70 кг.

112. Орудие, жестко закрепленное на железнодорожной платформе, производит выстрел вдоль полотна железной дороги под углом 30° к линии горизонта. Определить скорость отката платформы, если снаряд вылетает со скоростью 400 м/с. Масса платформы с орудием и снарядами равна 18 тонн, масса снаряда 60 кг.

113. Определить импульс, полученный стенкой при ударе об нее шарика массой 300 г, если шарик двигается со скоростью 8 м/с под углом 60° к плоскости стенки. Удар о стенку считать упругим.

114. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса его 60 кг, масса доски 20 кг. С какой скоростью (относительно пола) будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль нее со скоростью (относительно доски) 1 м/с. Массой колес пренебречь, трение не учитывать.

115. Снаряд, летевший со скоростью 400 м/с, разорвался на два осколка. Меньший осколок, масса которого составляет 40% от массы снаряда, полетел в противоположном направлении со скоростью 150 м/с. Определить скорость большего осколка.

116. Человек массой 70 кг, бегущий со скоростью 9 км/ч, догоняет тележку массой 190 кг, движущуюся со скоростью 3.6 км/ч, и вскакивает на нее. С какой скоростью станет двигаться тележка с человеком? С какой скоростью станет двигаться тележка с человеком, если человек до прыжка бежал навстречу тележке?

117. Конькобежец, стоя на коньках на льду, бросает камень массой 2.5 кг, под углом 30° к горизонту со скоростью 10 м/с. Какова будет начальная скорость конькобежца, если масса его 60 кг. Перемещением конькобежца во время броска пренебречь.

118. Два тела одинаковой массы движутся из одной точки вниз по наклонной плоскости, образующей угол 30° с горизонтом. Первое пущено на 2 с раньше второго без начальной скорости. Второе – с начальной скоростью 12 м/с. Тела ударяются друг о друга. Определить скорость тел сразу после удара, если трения нет, а удар – неупругий.

119. На сколько переместится относительно берега лодка длиной 3.5 м и массой 200 кг, если стоящий на корме человек массой 80 кг переместится на нос лодки? Считать лодку расположенной перпендикулярно берегу.

120. Плот массой 150 кг и длиной 2 м плавает на воде. На плоту находится человек массой 80 кг. С какой наименьшей скоростью и под каким углом к плоскости горизонта должен прыгнуть человек вдоль плота, чтобы попасть на его противоположный край?

121. Шар массой 4 кг движется со скоростью 5 м/с и сталкивается с шаром массой 6 кг, который движется ему навстречу со скоростью 2 м/с. Определить скорости шаров после удара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

122. Тело массой m₁ = 3 кг движется со скоростью u₁ = 4 м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, найти количество энергии, затраченной на деформацию тел.

123. Шар массой 5 кг движется со скоростью 1 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой 2 кг. Определить скорости шаров после удара. Удар считать абсолютно упругим, прямым и центральным.

124. На покоящийся шар массой 5 кг налетает со скоростью 5 м/с шар массой 3 кг. Направление движения второго шара изменилось на угол 45°. Определить скорости шаров после удара, считая шары абсолютно упругими.

125. В подвешенный на нити длиной 1.8 м деревянный шар массой 8 кг попадает горизонтально летящая пуля массой 4 г. С какой скоростью летела пуля, если нить с шаром и застрявшей в нем пулей отклонилась от вертикали на угол 3°? Размером шара пренебречь. Удар пули считать прямым, центральным.

126. Определить К.П.Д. неупругого удара бойка массой 0.5 т, падающего на сваю массой 120 кг. Полезной считать энергию, затраченную на вбивание сваи.

127. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули 5 г, масса шара 0,5 кг. Скорость пули 500 м/с. При каком предельном расстоянии от центра шара до точки подвеса стержня шар от удара пули поднимется до верхней точки окружности?

128. В шар массой 8 кг, подвешенный на нити длиной 1.8 м, попадает горизонтально летящая пуля массой 4 г. С какой скоростью летела пуля, если нить с шаром отклонилась от вертикали на угол 3°? Размером шара пренебречь. Удар пули считать прямым, центральным, абсолютно упругим.

129. Шар, двигавшийся горизонтально, столкнулся с неподвижным шаром и передал ему 64% своей кинетической энергии. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Во сколько раз масса первого шара больше массы второго.

130. Стальной шарик, падая с высоты h₁ = 1.5 м на стальную плиту, отскакивает от нее со скоростью u₂ = 0.75u₁, где u₁ – скорость, с которой шарик подлетает к плите. На какую высоту h₂ он поднимется? Какое время пройдет с момента падения шарика с высоты h₁ до второго удара о плиту?

131. Определить жесткость системы двух пружин при последовательном их соединении. Жесткость пружин 3 кН/м и 4 кН/м.

132. Две пружины жесткостью 0.3 кН/м и 0.8 кН/м соединены последовательно и растянуты так, что абсолютная деформация x₂ второй пружины равна 3 см. Вычислить работу растяжения пружин.

133. Определить работу растяжения двух соединенных последовательно пружин с жестокостями 400 Н/м и 250 Н/м, если первая пружина при этом растянулась на 2 см.

134. Из ствола автоматического пистолета вылетела пуля массой 10 г со скоростью 300 м/с. Затвор пистолета массой 200 г прижимается к стволу пружиной, жесткость которой 25 кН/м. На какое расстояние отойдет затвор после выстрела? Считать, что пистолет жестко закреплен.

135. Пружина жесткостью 500 Н/м сжата силой 100 Н. Определить работу внешней силы, дополнительно сжимающей эту пружину еще на 2 см.

136. Две пружины жесткостью 0.5 кН/м и 1 кН/м скреплены параллельно. Определить потенциальную энергию данной системы при абсолютной деформации 4 см.

137. Какую нужно совершить работу А, чтобы пружину жесткостью 800 Н/м, сжатую на 6 см, дополнительно сжать еще на 8 см?

138. Если на верхний конец вертикально расположенной спиральной пружины положить груз, то пружина сжимается на 3 мм. На сколько сожмет пружину тот же груз, упавший на конец пружины с высоты 8 см?

139. Из пружинного пистолета с жесткостью пружины 150 Н/м был произведен выстрел пулей массой 8 г. Определить скорость пули при вылете ее из пистолета, если пружина была сжата на 4 см.

140. Налетев на пружинный буфер, вагон массой 16 тонн, двигавшийся со скоростью 0.6 м/с, остановился, сжав пружины на 8 см. Найти общую жесткость пружин буфера.

141. Определить скорость поступательного движения сплошного цилиндра, скатившегося с наклонной плоскости высотой 20 см.

142. Тонкостенный цилиндр, масса которого 12 кг, а диаметр основания D = 30 см, вращается согласно уравнению j = A+Bt+Ct³ относительно оси, совпадающей с его осью симметрии, где A = 4 рад; B = –2 рад/с; C = 0.2 рад/с³ . Определить действующий на цилиндр момент сил М в момент времени 3 с.

143. На обод маховика диаметром 60 см намотан шнур, к концу которого привязан груз массой 2 кг. Определить момент инерции маховика, если он, вращаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за время 3 с приобрел угловую скорость 9 рад/с.

144. Нить с привязанными к ее концам грузами массой 50 г и 60 г перекинута через блок диаметром 4 см. Определить момент инерции блока, если под действием силы тяжести грузов он получил угловое ускорение 1.5 рад/с².

145. Стрежень вращается вокруг оси, проходящей через его середину, согласно уравнению: j = At+Bt³, где А = 2 рад/с, В = 0.2 рад/с². Определить вращающий момент M, действующий на стержень в момент времени 2 с, если момент инерции стержня 0.048 кг×м².

146. По касательной к шкиву маховика в виде диска диаметром 75 см и массой 40 кг приложена сила 1 кН. Определить угловое ускорение и частоту вращения маховика через время 10 с после начала действия силы, если радиус шкива 12 см. Силой трения пренебречь.

147. Определить момент силы M, который необходимо приложить к блоку, вращающемуся с частотой 12 с^–1, чтобы он остановился в течении времени 8 с. Диаметр блока 30 см. Массу блока 6 кг считать равномерно распределенной по ободу.

148. Через блок в виде диска, имеющего массу 80 г, перекинута гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массой 100 г и 200 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением пренебречь.

149. Вал в виде сплошного цилиндра массой 10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой 2 кг. С каким ускорением будет опускаться гиря, если ее предоставить самой себе?

150. Блок, имеющий форму диска массой 0.4 кг вращается под действием силы натяжения нити, к концам которой подвешены грузы массой 0.3 кг и 0.7 кг. Определить силы натяжения нити по обе стороны блока.

151. На краю платформы в виде диска, вращающейся по инерции вокруг вертикальной оси с частотой 8 мин^–1, стоит человек массой 70 кг. Когда человек перешел в центр платформы, она стала вращаться с частотой 10 мин^–1. Определить массу платформы. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

152. На краю неподвижной скамьи Жуковского диаметром 0.8 метра и массой 6 кг стоит человек массой 60 кг. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья, если человек поймает летящий на него мяч массой 0.5 кг? Траектория мяча горизонтальна и проходит на расстоянии 0.4 метра от оси скамьи. Скорость мяча 5 м/с.

153. Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень вертикально вдоль оси вращения скамьи. Стержень служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце стержня. Скамья неподвижна, колесо вращается с частотой 15 с^–1. С какой угловой скоростью будет вращаться скамья, если человек повернет стержень на угол 180⁰ и колесо окажется на нижнем конце стержня? Суммарный момент инерции человека и скамьи равен 8 кг×м², радиус колеса 25 см. Массу колеса 2.5 кг можно считать равномерно распределенной по ободу. Считать, что центр тяжести человека с колесом находится на оси платформы.

154. Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень вертикально по оси вращения скамьи. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью 4 рад/с. С какой угловой скоростью будет вращаться скамья с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи 5 кг×м². Длина стержня 1.8 м, его масса 6 кг. Считать, что центр тяжести стержня с человеком находится на оси платформы.

155. Платформа в виде диска диаметром 3 м и массой 180 кг может вращаться вокруг вертикальной оси. С какой угловой скоростью будет вращаться эта платформа, если по ее краю пойдет человек массой 70 кг со скоростью 1.8 м/с относительно платформы?

156. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя ее, вернется в исходную (на платформе) точку? Масса платформы 280 кг, масса человека 80 кг. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

157. Шарик массой 60 г, привязанный к концу нити длиной 1.2 м, вращается с частотой 2с^–1, опираясь на горизонтальную плоскость. Нить укорачивается, приближая шарик к оси вращения до расстояния 0.6 м. С какой частотой будет при этом вращаться шарик? Какую работу совершает внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь.

158. На скамье Жуковского сидит человек и держит на вытянутых руках гири массой 5 кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси скамьи 70 см. Скамья вращается с частотой 1 с^–1. Как изменится частота вращения скамьи и какую работу произведет человек, если он сожмет руки так, что расстояние от каждой гири до оси уменьшится до 20 см? Момент инерции человека и скамьи (вместе) относительно оси вращения равен 2.5 кг×м².

159. Платформа в виде диска радиусом 1.5 м и массой 180 кг вращается по инерции вокруг вертикальной оси с частотой 10 мин^-1. В центре платформы стоит человек массой 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

160. Круглая платформа радиусом 1 м, момент инерции которой 130 кг×м², вращается по инерции вокруг вертикальной оси, делая 1 оборот в секунду. На краю платформы стоит человек массой 70 кг. Сколько оборотов в секунду будет совершать платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

161. Какая работа будет совершена силами гравитационного поля при падении на Землю тела массой 2 кг: 1) с высоты 1000 км; 2) из бесконечности?

162. На каком расстоянии от центра Земли находится точка, в которой напряженность суммарного гравитационного поля Земли и Луны равна нулю? Принять, что масса Земли в 81 раз больше массы Луны и что расстояние от центра Земли до центра Луны равно 60 радиусам Земли.

163. Спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите на высоте 520 км. Определить период обращения спутника. Ускорение свободного падения и радиус земли считать известными.

164. Определить линейную и угловую скорости спутника Земли, обращающегося по круговой орбите на высоте 1000 км. Ускорение свободного падения и радиус земли считать известными.

165. По круговой орбите вокруг Земли обращается спутник с периодом 90 минут. Определить высоту спутника. Ускорение свободного падения и радиус Земли считать известными.

166. Какова масса Земли, если известно, что Луна в течении года совершает 13 обращений вокруг Земли и расстояние от Земли до Луны рано 3.84×10⁸ м?

167. Во сколько раз средняя плотность земного вещества отличается от средней плотности лунного. Принять, что радиус Земли в 3.9 раза больше радиуса Луны и вес тела на Луне в 6 раз меньше веса тела на Земле.

168. На каком расстоянии от центра Земли должно находится тело, чтобы силы его притяжения к Земле и Луне взаимно уравновешивались? Считать, что масса Земли больше массы Луны в 81 раз, а расстояние между их центрами равно 60 радиусам Земли.

169. Определить вторую космическую скорость ракеты, запущенной с поверхности Земли? (масса Земли 5.98×10²⁴ кг, радиус Земли 6.37×10⁶ м).

170. Из бесконечности на поверхность Земли падает метеорит массой 30 кг. Определить работу, которая при этом будет совершена силами гравитационного поля Земли. Ускорение свободного падения у поверхности Земли и ее радиус считать известными.

171. Материальная точка совершает простые гармонические колебания так, что в начальный момент времени смещение равно 4 см, а скорость – 10 м/с. Определить амплитуду и начальную фазу колебаний, если их период 2 с.

172. Определить период колебаний математического маятника, если модуль его максимального смещения 18 см и модуль максимальной скорости 16 см/с.

173. Определить период простых гармонических колебаний диска радиусом 40 см около горизонтальной оси, проходящей через образующую диска.

174. Точка совершает одновременно два колебания по взаимно перпендикулярным направлениям, описываемых уравнениями: x = A₁×sin w₁t и y = A₂×sin w₂t, где A₁ = 2см, A₂ = 2см, w₁ = 1с^-1, w₂ = 2 с‑¹. Найти уравнение траектории, построить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения.

175. На стержне длиной 30 см укреплены два одинаковых грузика: один – в середине стержня, другой – на одном из его концов. Стержень с грузиками колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить приведенную длину и период гармонических колебаний. Массой стержня пренебречь.

176. Найти максимальную кинетическую энергию точки массой 2 г, совершающей гармонические колебания с амплитудой 4 см и частотой 5 Гц.

177. Определить максимальное ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой 15 см, если наибольшая скорость точки 30 см/с. Написать также уравнение колебаний.

178. Найти отношение длин двух математических маятников, если отношение периодов их колебаний равно 1.5.

179. Физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной 120 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно стержню через точку, удаленную на некоторое расстояние l от центра масс стержня. При каком значении l период колебаний Т имеет наименьшее значение?

180. Шарик массой 60 г колеблется с периодом 2 с. В начальный момент времени смещение шарика 4 см и он обладает энергией 0.02 Дж. Записать уравнение простого гармонического колебания шарика и закон изменения возвращающей силы с течением времени.