Смешанные фигуры.

К категории задач на смешанные фигуры относятся два типа задач. Первый тип: построить изображение одной пространственной фигуры, вписанной в другую. Второй тип: построить изображение общих точек двух пространственных фигур. Второй тип задач ещё называют позиционными задачами. К ним, в частности, относятся задачи на построение сечений.

Задача 1. Дано очертание сферы g и изображение её экватора – эллипс g_o. Построить изображение правильной четырёхугольной призмы, вписанной в сферу, если её высота равна радиусу и параллельна линии, соединяющей полюсы.

Решение. Из условия задачи следует, что основания призмы в оригинале перпендикулярны отрезку и
делят отрезки и пополам. Поэтому основания призмы вписаны в окружности, которые получаются в сечении сферы плоскостями, параллельными экватору, и центры и этих окружностей – это середины отрезков и . Такие сечения мы изображали в предыдущем параграфе.

Построим изображение PQRT квадрата, вписанное в g₂ . Для того чтобы найти его вершины, требуется всего лишь провести два сопряжённых диаметра PR и QT эллипса g₂. С помощью параллельного переноса на вектор

получаем изображение P₁Q₁R₁T₁квадрата, вписанное в g₁. Остаётся
провести изображения боковых
рёбер призмы.

Задача 2. Даны изображения конуса и куба, причём основание куба вписано в основание конуса и высота куба в 2 раза меньше высоты конуса. Построить изображение общих точек конуса и куба.

Решение. Пусть S – изображение вершины конуса, g – эллипс, изображающий основание конуса. Оче­видно, пересечение конуса с верхним основанием куба есть окружность, подобная окружности основания конуса с коэффициентом 1/2. Изображение этого пересечения есть эллипс g₁ гомотетичный g с центром гомотетии S и коэффициентом 1/2.

Найдём пересечение боковых поверхностей конуса и куба. Мы покажем, как построить точки пересечения с одной из боковых граней куба.

Выберем на ребре AB несколько точек N_i. Мы для примера выбрали три.Они служат проекциями на основание искомых точек M₁, M₂, M₃. Кроме того, искомые точки лежат на образующих конуса. Проекция образующей на основание есть радиус. Проводим через точки N₁, N₂, N₃ радиусы OP₁, OP₂, OP₃. Проводим через N₁, N₂, N₃ вертикальные линии l₁, l₂, l₃. Теперь M_i=OP_iIl_i. Напомним (это материал 1 семестра), что в пересечении получается гипербола.

Упражнения. 1. Даны изображения правильной треугольной пирамиды и куба (намеренно не все нужные линии сделаны штриховыми). Постройте линии пересечения боковых граней пирамиды с гранями куба.

2. Основание правильной треугольной пирамиды описано вокруг основания цилиндра, а высота пирамиды в 2 раза больше высоты цилиндра. Постройте изображения этих фигур и несколько точек пересечения боковых их поверхностей.