Метрические задачи.

Пусть нам известно, что репер = {, , , } является ортонормированным. Пусть на плоскости изображений s дано изображение
R ={O, E₁, E₂, E₃} этого репера и даны две точки (M, M₃), (N, N₃). Тогда
по чертежу мы можем определить координаты оригиналов (x₁, y₁, z₁),
(x₂, y₂, z₂) и найти расстояние между ними о формуле

| | = .

На самом деле, не обязательно требовать, чтобы репер был ортонормированным. Достаточно знать длины отрезков ||, ||, || и углы между ними. Тогда мы сможем составить матрицу Грамма G=(g_ij) и вычислить расстояние между точками и . Репер, матрица Грамма которого нам известна, будем называть евклидовым.

Для решения многих задач на построение достаточно знать, что репер определён своим изображением с точностью до подобия. Например, дано изображение куба. Тогда мы можем сказать, что R ={A, B, D, A₁}является изображением репера, подобного ортонормированному.

Определение. Изображение F фигуры называется евклидово определённым, если нему можно добавить изображение репера, подобного евклидовому, так что изображение станет полным (это касается как изображения пространственных фигур, так и плоских).

Задача 1. Дано изображение ABC прямоугольного треугольника
, у которого Ð=30°, Ð =90°. Построить изображение высоты, проведённой из вершины прямого угла.

1 способ. Построить оригинал треугольника мы не можем, т.к. не знаем длины сторон, но мы можем построить DA_oB_oC_oподобный оригиналу и в нём построить высоту C_oH_o. Искомая точка H делит AB в том же отношении, в каком H_o делит A_oB_o. Более того, мы можем построить DA_oB_oC_o так, чтобы отрезки AB и A_oB_o совпадали. Тогда H_o совпадает с H.

2 способ. Мы можем вычислить, что делит в отношении 3:1. Значит и H тоже делит AB в отношении 3:1.

Задача 2. Дано изображение ABCDA₁B₁C₁D₁ куба. Построить изображение перпендикуляра, проведённого из точки к диагонали ₁.