Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Основные понятия и определения

Дифференциальное уравнение первого порядка может быть задано в 3-х формах

- неявная

- явная

- дифференциальная.

Одно и то же уравнение можно выразить во всех трех формах:

- неявная,

- явная,

- дифференциальная.

Опр. Решением диф. ур-ия называется любая дифференцируемая функция у = у(х),

которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Интегралом

уравнения называется его решение, полученное в неявном виде Ф(х,у) = 0.

Каждое диф. ур-ие 1-го порядка имеет бесконечное множество решений. Все это множество можно описать одной функцией у = у(х,С), которая называется общим решением или общим интегралом диф. ур-ия. Из этого множества можно выбрать конкретное(частное) решение, если задать начальное условие у(х₀) = у₀.

Опр. Задача Коши – нахождение частного решения, удовлетворяющего заданному

начальному условию.

1) Задание начального условия у(х₀) = у₀ означает задание точки М₀(х₀, у₀).

2) Решить задачу Коши , у(х₀) = у₀ означает, что из всего множества интегральных кривых, представляющих общее решение, необходимо отобрать ту единственную, которая проходит через точку М₀(х₀, у₀).