Уравнения в полных дифференциалах. Пример 1. Найти общий интеграл ур-ия .

Пример 1. Найти общий интеграл ур-ия .

Проверяем условие : . .

Итак, критерий выполняется на всей плоскости. Данное ур-ие является уравнением в полных дифференциалах.

Находим неопределенные интегралы

,

.

Беря все известные слагаемые из первого результата и дописав к ни недостающие слагаемые, зависящие только от у из второго результата, получим ф-цию

.

Приравняв ее произвольной постоянной, получим общий интеграл данного ур-ия.

.

Делаем проверку, убеждаемся в правильности полученного решения, продифференцировав выражение для ф-ции U(x,y) по переменным х и у и приравняв соответственно ф-циям M(x,y) и N(x,y).

,

.

Проверка подтверждает правильность полученного решения.

Пример 2. Найти общий интеграл ур-ия .

Проверяем условие . .

.

Итак, критерий выполняется на всей плоскости. Данное ур-ие является уравнением в полных дифференциалах.

Находим неопределенные интегралы

,

.

Беря все известные слагаемые из первого результата и дописав к ни недостающие слагаемые, зависящие только от у из второго результата, получим ф-цию

.

Приравняв ее произвольной постоянной, получим общий интеграл данного ур-ия.

.

Делаем проверку:

,