Решение нормальных систем дифференциальных ур-ий методом исключения

Пример 1. Найти общее решение системы

Продифференцируем первое ур-ие по t : . Значение подставим из 2-го ур-ия

,

Значение у находим из 1-го ур-ия и подставляем в последнее

.

Это линейное однородное ур-ие. Корни характеристического ур-ия и его частные и общее решение .

у(t) находим из первого ур-ия:

Таким образом решение системы

.

Пример 2. Найти общее решение системы и частное решение, соответствующее начальным условиям х(0)=0, у(0)=1.

Продифференцируем первое ур-ие по t : . Значение подставим из 2-го ур-ия

,

Значение у находим из 1-го ур-ия и подставляем в последнее

.

Это линейное неоднородное ур-ие. Решим сначала соответствующее однородное ур-ие: .

Корни характеристического ур-ия и его частные и общее решение .

Найдем частное решение неоднородного ур-ия.

Правая часть специального вида 2)

Так как α±βi = 0 ±i не корень характеристического ур-ия, то частное решение где U_r(t), V_r(t) – многочлены степени r = 0 = max[n,m] = max(0,0), имеет вид

Подставим частное решение и его производные в неоднородное ур-ие и найдем коэффициенты А и В.

Приравняем коэффициенты слева исправа при одинаковых выражениях от t.

при cost: -3А – В = 5

при sint: А – 3В = 5

Решив полученную систему найдем А = -1 и В = -2.

Следовательно частное решение и общее решение

,

у(t) находим из первого ур-ия:

Таким образом общее решение системы

.

Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям х(0)=0, у(0)=1, подставив его в общее решение:

Частное решение имеет вид:

Пример 4.

Пример 5. .

Пример 6. .

Пример 7. .

Пример 8. .

Пример 9. .