Линейные уравнения 1-го порядка

Опр. Линейным дифференциальным уравнением наз-ся ур-ие, содержащее у и у^’ в первых

степенях

.

Решение линейных диф. ур-ий 1-го порядка методом Бернулли

Решение ур-ия находится в виде произведения 2-х ф-ций:

.

Т.к. решение находится в виде произведения 2-х функций, на одну из них можно наложить определенное условие. Потребуем, чтобы v(x) удовлетворяла следующему уравнению (пусть выражение в скобках обращалось в нуль):

и тогда уравнение запишется в виде системы:

(*)

Первое ур-ие - уравнение с разделяющимися переменными

.

Подставим найденное значение ν в ур-ие(*):

- ур-ие с разделяющимися переменными

Перемножим u и v и найдем у:

.

Пример 1. .

У и у’ входят в ур-ие в первой степени – имеем линейное ур-ие.

(*)

.

Подставим найденное значение м в ур-ие(*):

- общее решение.