КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами.Опр. Линейным неоднородным ур-им n-го порядка с постоянными коэффициентами называется ур-ие вида . (4.7) где а1, а2,…,аn – действительные числа. Общее решение ур-ие (4.7)определяется формулой у = у0 + У, где у0 - общее решение соответствующего однородного ур-ия, а частное решение У неоднородного ур-ия может быть найдено методом неопределенных коэффициентов, который применяется только в тех случаях, когда правая часть ур-ия имеет специальный вид.
Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений с правой частью специального вида методом неопределенных коэффициентов
Поскольку общее решение ур-ия (4.7) определяется формулой у = у0 + У, где у0 - общее решение соответствующего однородного ур-ия, найдем решение у0 ур-ия (4.5), решив соответствующее характеристическое ур-ие (4.6). Частное решение У неоднородного ур-ия может быть найдено методом неопределенных коэффициентов в следующих простейших случаях.
Пример 1. Дано ур-ие Найти общее решение соответствующего однородного ур-ия у0 и записать частное решение У с неопределенными коэффициентами в каждом из следующих случаев: а) ; б) ; в) . Для случая (в) найти неопределенные коэффициенты и записать общее решение исходного ур-ия.
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного ур-ия Так как характеристическое ур-ие имеет корни k1=0, k2 =k3 = -1, то соответствующие им частные решения и общее решение однородного ур-ия Найдем частные решения У для различных f(x). а) . Правая часть специального вида 1) где Рn(х) – многочлен степени n=2 (второй степени). Так как α = 3 – не корень характеристического ур-ия , то частное решение где Qn(x) – многочлен степени n=2 с неопределенными коэффициентами, имеет вид б) . Правая часть специального вида 1) где Рn(х) – многочлен степени n=0 (нулевой степени). Так как α = -1 – корень характеристического ур-ия кратности s = 2 , то частное решение где Qn(x) – многочлен степени n=0 с неопределенными коэффициентами, имеет вид .
в) . Правая часть специального вида 1) где Рn(х) – многочлен степени n=1 (первой степени). Так как α = 0 – корень характеристического ур-ия кратности s = 1 , то частное решение где Qn(x) – многочлен степени n=1 с неопределенными коэффициентами, имеет вид Пример 2. Дано ур-ие Найти общее решение соответствующего однородного ур-ия у0 и записать частное решение У с неопределенными коэффициентами в каждом из следующих случаев: а) ; б)
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного ур-ия Так как характеристическое ур-ие имеет корни k1=0, k2 ,k3 = ±i, то соответствующие им частные решения и общее решение однородного ур-ия
Найдем частные решения У для различных f(x).
а) ; Правая часть специального вида 2) Так как α±βi = 2 ±3i не корень характеристического ур-ия, то частное решение где Ur(x), Vr(x) – многочлены степени r = 1 = max[n,m] = max(0,1), имеет вид
б) Правая часть специального вида 2) Так как α±βi = 0±2i– корни характеристического ур-ия кратности s = 1 , то частное решение где Ur(x), Vr(x) – многочлены степени r = 2 = max[n,m] = max(2,0), имеет вид .
Пример 3. Решить ур-ие . Найдем сначала общее решение соответствующего однородного ур-ия Так как характеристическое ур-ие имеет корни k1=0, k2 =1 ,k3 = -2, то соответствующие им частные решения и общее решение однородного ур-ия Найдем частное решение У. Правая часть ур-ия представляет собой сумму двух ф-ций специального вида 1) поэтому частное решение может быть найдено как сумма частных решений Найдем эти решения . Так как α1 = 0 – корень характеристического ур-ия кратности s = 1 , то частное решение Так как α2 = 1 – корень характеристического ур-ия кратности s = 1 , то частное решение Итак частное решение Пример 4. Решить ур-ие . Найдем сначала общее решение соответствующего однородного ур-ия . Так как характеристическое ур-ие имеет корни k1=0, k2 ,k3 = ± 1/2i, то соответствующие им частные решения и общее решение однородного ур-ия Найдем частное решение У. Правая часть ур-ия представляет собой сумму двух ф-ций специального вида 1) и 2) ,
поэтому частное решение может быть найдено как сумма частных решений Найдем эти решения . Так как для первой ф-ции α = 1 – не корень характеристического ур-ия, то частное решение Так как для второй ф-ции α = 0, β = 1/2 – корень характеристического ур-ия кратности s = 1 , то частное решение . Итак частное решение .
|