Решение линейных однородных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Опр. Линейным однородным ур-им n-го порядка с постоянными коэффициентами

называется ур-ие вида

, (4.5)

где а₁, а₂,…,а_n – действительные числа.

Метод решения ур-ия (4.5) был предложен Эйлером. В соответствии с ним решение ур-ия ищется в виде . Подставляя эту ф-цию и ее производные в ур-ие (4.5) получим

.

Ф-ция будет решением ур-ия (4.5) только тогда, когда

( ) (4.6)

и когда k – корень алгебраического ур-ия (4.6).

Ур-ие (4.6) называется характеристическим ур-ием. Это алгебраическое ур-ие n-й степени, оно имеет n корней(считая и равные корни), среди которых могут быть и комплексные.

Рассмотрим основные возможные случаи.

Корни	Частные решения	Соответствующая часть общего решения
различные действительные корни k1, k2, …,kn.
действительные корни, среди которых m равны между собой. k1= k2= …=km, km+1,…,kn
простые комплексно-сопряженные корни. , все остальные корни являются действительными и различными
комплексно-сопряженные корни являются m-кратными. Если остальные n-2m корней являются действительным различными

Свойства решений линейного однородного уравнения

1. Если функция y₁ (x) является каким-либо частным решением уравнения (4.5), то функция Сy₁ (x), где С – const, также является решением этого уравнения.
2. Если функции y₁ (x), y₂ (x)…, y_n (x) являются какими-либо частными решениями уравнения (4.5), то их линейная комбинация С₁ y₁ (x)+ С₂ y₂ (x)…+ С_n y_n (x) также является решением этого уравнения.

Пример. Решить ур-ие .

Это линейное однородное ур-ие 3-го порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое ур-ие

Общее решение имеет вид .

Пример. Решить ур-ие .

Это линейное однородное ур-ие 3-го порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое ур-ие

.

Фундаментальная система решений .

Общее решение .

Пример. Решить ур-ие .

Это линейное однородное ур-ие 3-го порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое ур-ие

.

Фундаментальная система решений .

Общее решение .

Пример. Решить ур-ие .

Составляем характеристическое ур-ие

Фундаментальная система решений

Общее решение