Распределения молекул газа по направлениям движения в состоянии равновесия.

Рассмотрим газ, находящийся в состоянии равновесия. При этом он занимает объем V и содержит N молекул. При отсутствии внешних сил молекулы газа распределяются равномерно по объему V и движутся хаотически, не имея преимущественного направления. Если провести сферу радиусом R вокруг объема V и в произвольный момент времени продолжить направления скоростей движения всех молекул до пересечения с этой сферой, то вся сфера покроется точками в местах этих пересечений. Причем из-за отсутствия преимущественного направления в движении молекул (равновесие) поверхностная плотность этих точек r = N/4pR² будет постоянна по всей сфере в любой момент времени.

Выберем на сфере произвольную элементарную площадку dS. Тогда количество точек, оказавшихся на этой площадке

dN = NdS /4pR²= Ndw/4p, (1.3.1)

где dw=dS/R² – телесный угол, под которым видна площадка из центра сферы. (Полный телесный угол, стягиваемый сферой

w= ∫ dw= ∫ dS/R²=4pR²/R²=4p).

Соотношение (1.3.1) можно представить в виде

dN / N = dw /4p. (1.3.2)

Левая часть равенства (1.3.2) представляет собой отношение числа молекул dN, направления скоростей которых заключены в телесном угле dw, к общему числу молекул и при большом N равна вероятности того, что взятая наугад молекула в газе имеет направление скорости, заключенное в телесном угле dw. Формула (1.3.2) выражает закон равновероятности направлений движения молекул в равновесном состоянии газа^*.

Р и с. 8

Найдем дифференциал площади dS в сферической системе координат. В результате пересечения четырех указанных окружностей получается элемент сферы, (на рис. 8 заштрихован) площадь которого

dS = BC·BD, (1.3.3)

где BC = ABdj = R sinq dj, BD = R dq.

Подставляя последние величины в формулу (1.3.3), получим выражение для бесконечно малой площади в сферической системе координат:

dS = R²sinq dq dj. (1.3.4)

Из выражений (1.3.4) и (1.3.1) находим число частиц, которые имеют направления, определяемые сферическими углами, лежащими в интервалах от j до j + dj и от qдо q + dq:

dN_q,j = N sinq dq dj/4p. (1.3.5)