Значения функции на данном промежутке

Замечание. Мы рассмотрим два случая, в которых гарантируется существование наибольшего или (и) наименьшего значения функции на данных промежутках. Во всех остальных случаях требуется значительно более детальное исследование.

Случай 1. Если функция непрерывна на данном промежутке (неважно, замкнутом или незамкнутом) и имеет на этом промежутке единственную точку экстремума , то значение является наименьшим значением функции на данном промежутке, если ‒ точка минимума, и наибольшим, если ‒ точка максимума.

Замечание. Исследование функции в этом случае производится так же, как исследование на экстремум.

Случай 2. Если функция непрерывна на замкнутом промежутке, то на этом промежутке она имеет и наименьшее, и наибольшее значения, причем эти значения функция принимает или на концах промежутка, или в точках экстремума, принадлежащих этому промежутку.

В этом случае можно использовать следующий алгоритм.

1. Найти область определения функции. Убедиться, что данный промежуток является подмножеством области определении.

2. Найти первую производную данной функции.

3. Найти критические точки первого рода данной функции. Выбрать те из них, которые принадлежат данному промежутку.

4. Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах промежутка.

5. Из найденных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечание. Если на данном промежутке критических точек у функции нет, то нужно найти ее значения только на концах промежутка.