Для приближенных вычислений

Определение. Дифференциалом функции в точке называется произведение , где ‒ приращение аргумента.

Теорема. Если , то при малых значениях приращения аргумента функции ее дифференциал является главной частью ее приращения.

По определению производной .

По определению предела функции из этого равенства следует, что , где -- бесконечно малая функция при , то есть .

Если , то .

Это значит, что при малых значениях слагаемое пренебрежимо мало в сравнении со слагаемым , то есть можно считать, что , или .

Теорема доказана.

Замечание. Из равенства получаем:

.

Эту формулу используют для приближенных вычислений значений функции. На практике ее удобнее представить в виде

,

где выражение и значение определяются условием задания, а значение выбирается произвольно с учетом двух условий: во-первых, должно как можно меньше отличаться от , во-вторых, значения и должны легко вычисляться без таблиц или калькулятора.

Пример. Вычислить приближенно .

Решение

, .

Пусть . Тогда ,

,

.

Ответ:

Для сравнения: вычисления на микрокалькуляторе дают результат