Типы точек разрыва функции

Определение 5. Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если левый и правый пределы при конечные и равные, но не равны значению функции в точке : .

Определение 6. Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если левый и правый пределы при конечные, но не равны между собой: .

Определение 7. Точка называется точкой разрыва второго рода функции f , если хотя бы один из односторонних пределов при является бесконечным: или (и) .

Пример 2. Исследовать на непрерывность и точки разрыва функцию

Решение. Так как на промежутках и данная функция совпадает с непрерывными функциями и , то она непрерывна на этих промежутках.

Чтобы установить, является ли точка точкой разрыва, и определить тип разрыва, вычислим пределы:

, .

Так как , то точка является точкой разрыва второго рода функции .

Ответ. На промежутках и данная функция непрерывна; – точка устранимого разрыва; – точка разрыва второго рода.

Пример 3. Исследовать на непрерывность и точки разрыва функцию

Решение. Так как на промежутках , и данная функция совпадает с непрерывными функциями , и , то она непрерывна на этих промежутках.

Чтобы установить, являются ли точки и точками разрыва, и определить тип разрыва, вычислим пределы:

, .

Так как значение не определено, то , следовательно, точка является точкой устранимого разрыва функции .

, .

Так как левый и правый пределы при конечные и , то точка является точкой разрыва первого рода функции .

Ответ. На промежутках , и данная функция непрерывна; – точка устранимого разрыва; – точка разрыва первого рода.

Пример 4. Исследовать на непрерывность и точки разрыва функцию

Решение. Так как функции и непрерывны при и при и , то на промежутках , и данная функция непрерывна.

Точки и являются точками разрыва, так как в этих точках данная функция не определена.

Чтобы определить тип разрыва, вычислим пределы:

, .

Так как значение не определено, то , то точка является точкой устранимого разрыва функции .

(при выполняются условия и , поэтому ).

(при выполняются условия и , поэтому ).

Так как левый и правый пределы при бесконечные , то точка является точкой разрыва второго рода функции .

Ответ. На промежутках , и данная функция непрерывна; – точка устранимого разрыва; – точка разрыва второго рода.

Примеры вычисления пределов

1. .

2. .

3.

4. .

По формуле получаем Тогда

5. .

5.

6.

7. .

8. .

9. .

10.

11.

12.

.

13. .

14. .

15.

16.