Правило дифференцирования сложной функции

Определение. Пусть функция определена на интервале . Пусть функция определена на интервале, содержащем множество значений функции. Тогда функция называется сложной функцией, составленной из функций и , или суперпозицией функций и .

Теорема. Пусть функция определена на интервале и дифференцируема в точке . Пусть функция определена на интервале, содержащем множество значений функции и дифференцируема в точке этого интервала.

Тогда сложная функция дифференцируема в точке , причем справедливо равенство .

Другая формулировка теоремы 6. Производная сложной функции равна производной внешней функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную промежуточного аргумента по данному аргументу.

Пример. Найти производную функции .

Решение: Пусть , где .

Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получаем:

, или

.

Ответ: .