Непрерывность суммы, произведения, частного двух функций

Определение 1. Число называется левым пределом функции при , если для всех значений х, достаточно близких к и меньших, чем , значения как угодно мало отличаются от .

Определение 2. Число называется правым пределом функции при , если для всех значений х, достаточно близких к и больших, чем , значения как угодно мало отличаются от .

Обозначения: ; .

Определение 3.Функция называется непрерывной в точке , если левый и правый пределы при конечные, равны между собой и равны значению функции в точке : .

Определение 4. Функция f(x) называется непрерывной на данном промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Теорема 1. Если функции и непрерывны на промежутке , то функция тоже непрерывна на промежутке .

Теорема 2. Если функции и непрерывны на промежутке , то функция тоже непрерывна на промежутке .

Теорема 3. Если данные функции и непрерывны на промежутке и на промежутке , то функция тоже непрерывна на промежутке .

Пример 1. Исследовать на непрерывность и точки разрыва функцию

Решение. Так как на промежутках и данная функция совпадает с непрерывными функциями, и , то она непрерывна на этих промежутках.

Чтобы установить, является ли точка точкой разрыва, и определить тип разрыва, вычислим пределы:

, .

Теперь вычислим значение функции в точке : .

Так как , то в точке функция непрерывна.

Ответ.Данная функция непрерывна на промежутке .